Luyện tập 2 trang 64 Toán 8 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán lớp 8

Giải Toán 8 Bài 3: Đường trung bình của tam giác

Luyện tập 2 trang 64 Toán 8 Tập 2:Cho hình thang ABCD (AB // CD). Giả sử M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BC, AC. Chứng minh:

a) M, N, P thẳng hàng;

b) $\mathrm{MN}=\frac{1}{2}\left(\mathrm{AB}+\mathrm{CD}\right).$

Lời giải:

a) Vì M và P lần lượt là trung điểm của hai cạnh AD, AC nên MP là đường trung bình của tam giác ADC.

Suy ra MP // CD.

Mà AB // CD nên MP // AB // CD (1)

Tương tự, ta cũng có PN là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra PN // AB // CD (2)

Từ (1) và (2), theo tiên đề Euclid, ta có MPvàPN trùng nhau hay ba điểm M, N, P thẳng hàng.

b) Vì MP là đường trung bình của tam giác ADC nên $\mathrm{MP}=\frac{1}{2}\mathrm{DC}.$

Vì PN là đường trung bình của tam giác ABC nên $\mathrm{PN}=\frac{1}{2}\mathrm{AB}.$

Ta có: $\mathrm{MN}=\mathrm{MP}+\mathrm{PN}=\frac{1}{2}\mathrm{DC}+\frac{1}{2}\mathrm{AB}=\frac{1}{2}\left(\mathrm{DC}+\mathrm{AB}\right)$

Vậy $\mathrm{MN}=\frac{1}{2}\left(\mathrm{AB}+\mathrm{CD}\right).$