Hình chóp S.ABC có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh bên SA, SB, SC

Giải Toán 12 Bài 3: Ôn tập chương 2

Bài 4 trang 50 SGK Toán lớp 12 Hình học:

Lời giải:

Gọi mặt cầu đã cho có tâm O và bán kính R.

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC và CA.

Gọi I, J và K lần lượt là tiếp điểm của các cạnh bên SA, SB, SC với mặt cầu:

+ Từ giả thiết ta suy ra: OI ⊥ SA; OM ⊥ AB

Xét tam giác OIA và tam giác OMA có:

OA chung

OI = OM = R

$\widehat{OIA}=\widehat{OMA}={90}^0$

⇒ ∆ OIA = ∆OMA ( ch- cgv)

⇒ AM = AI.

Chứng minh tương tự có:

BM = BJ và SI = SJ (1)

Mà AM = BM nên AI = BJ ; (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

SI + IA = SJ + BJ hay SA = SB (3)

* Chứng minh tương tự, ta có SB = SC (4).

Từ (3) và (4) suy ra: SA = SB = SC (*)

Mặt khác ; BM = BN (= BJ)

và CN = CP (= CK)

Suy ra; AB = 2BM = BC = 2 CN = 2CP = CA

Do đó, tam giác ABC là tam giác đều (**)

Từ (*) và (**) suy ra, S.ABC là hình chóp tam giác đều.