Cho tứ diện đều ABCD cạnh a

Giải Toán 12 Bài 3: Ôn tập chương 2

Bài 5 trang 50 SGK Toán lớp 12 Hình học:

a) Chứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tính độ dài đoạn AH.

b) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác BCD và chiều cao AH.

Lời giải:

a) Từ A vẽ AH ⊥ (BCD)

Xét ba tam giác ABH, ACH và ADH có:

AB = AC = AD (vì ABCD là tứ diện đều).

AH chung

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=\widehat{AHD}={90}^0$

Suy ra:  ∆ ABH = ∆ ACH = ∆ ADH (ch- cgv)

Suy ra, HB = HC = HD .

Do đó, H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.

Do tam giác BCD là tam giác đều nên H đồng thời là trọng tâm tam giác BCD

Gọi I là trung điểm CD. Ta có:

$\begin{array}{l}BI=a.\sin {60}^0=\frac{a\sqrt{3}}{2};\\ \Rightarrow BH=\frac{2}{3}BI=\frac{a\sqrt{3}}{3}\end{array}$

+ Xét tam giác AHB vuông tại H có:

$AH=\sqrt{A{B}^2-B{H}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

b) Ta có: $h=AH=\frac{a\sqrt{6}}{3};r=BH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

$S_{xq}=2\pi rh=2\pi \frac{a\sqrt{3}}{3}.\text{}\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{2\pi a^2\sqrt{2}}{3}$

Thể tích của khối trụ là:

$V=\pi r^{2}h=\pi .{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{\pi a^3\sqrt{6}}{9}$