Cho hình vuông ABCD cạnh a

Giải Toán 12 Bài 3: Ôn tập chương 2

Bài 6 trang 50 SGK Toán lớp 12 Hình học:

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của SA.

Trong mp(SAO); đường trung trực của đoạn SA cắt SO tại I.

Ta có: ∆ SAO đồng dạng ∆ SIH (g.g)

(vì $\widehat{S}chung;\widehat{SHI}=\widehat{SOA}={90}^0)$

$\Rightarrow \frac{SA}{SO}=\frac{SI}{SH}\Rightarrow SI=\frac{SA.SH}{SO}=\frac{S{A}^2}{2SO}$

Mà

$\begin{array}{l}S{A}^2=S{O}^2+\text{}O{A}^2\\ ={\left(\frac{a}{2}\right)}^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{3a^2}{4}\\ \Rightarrow SA=\frac{a\sqrt{3}}{2}\end{array}$

Khi đó $SI=\frac{\frac{3a^2}{4}}{2.\frac{a}{2}}=\frac{3a}{4}$

Mặt khác: IS = IA (vì I ở trên đường trung trực của SA)

Và IA= IB = IC = ID (vì I thuộc SO).

Suy ra: IS = IA = IB = IC = ID = $\frac{3a}{4}$

Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm là I và bán kính $R=\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}SI=\frac{3a}{4}$.

Diện tích mặt cầu:

$S=4\pi R^2=4\pi .\left(\frac{3a}{4}\right)2^{}=\frac{9\pi a^2}{4}$

Thể tích khối cầu là:

$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{3a}{4}\right)}^3=\frac{9\pi a^3}{16}$