Giải Toán 11 trang 85 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 trang 85 Tập 1

Bài 3 trang 85 Toán 11 Tập 1:Xét tính liên tục của hàm số sau:

a) f(x) = $\frac{x}{x^2-4}$;

b) g(x) = $\sqrt{9-x^2}$;

c) h(x) = cosx + tanx.

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số D = ℝ \ {– 2; 2}.

Hàm số f(x) = $\frac{x}{x^2-4}$ liên tục tại mọi điểm khác – 2 và 2.

b) Tập xác định của hàm số D = [– 2; 2].

Hàm số g(x) = $\sqrt{9-x^2}$ liên tục trên [– 2; 2].

c) Tập xác định của hàm số: D = R\.

Hàm số y = cosx hoặc y = tanx đều liên tục trên các khoảng xác định của nó.

Vậy h(x) = cosx + tanx liên tục trên từng khoảng xác định.

Bài 4 trang 85 Toán 11 Tập 1:Cho hàm số f(x) = 2x – sinx, g(x) =$\sqrt{x-1}$. Xét tính liên tục của hàm số y = f(x).g(x) và y =$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$.

Lời giải:

+) Xét hàm số y = f(x).g(x) có tập xác định D = [1; +∞).

Hàm số f(x) = 2x – sinx, g(x) = $\sqrt{x-1}$ đều liên tục trên D.

Vậy hàm số y = f(x).g(x) liên tục trên D.

+) Xét hàm số y = $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ có tập xác định D = (1; +∞).

Hàm số f(x) = 2x – sinx, g(x) = $\sqrt{x-1}$ đều liên tục trên D.

Vậy hàm số y = $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ liên tục trên D.

Bài 5 trang 85 Toán 11 Tập 1:Một bãi đậu xe ô tô đưa ra giá C(x) (đồng) khi thời gian đậu xe là x (giờ) như sau:

C(x) = 

Xét tính liên tục của hàm số C(x).

Lời giải:

+) Với x ∈ (0; 2) ta có: C(x) = 60 000 nên hàm số liên tục trên (0; 2).

+) Với x ∈ (2; 4) ta có: C(x) = 100 000 nên hàm số liên tục trên (2; 4).

+) Với x ∈ (4; 24) ta có: C(x) = 200 000 nên hàm số liên tục trên (4; 24).

+) Tại x = 2 ta có: $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }C\left(x\right)=60000\ne 100000=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }C\left(x\right)$. Suy ra không tồn tại $\underset{x\to 2}{\lim }C\left(x\right)$.

+) Tại x = 4 ta có: $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }C\left(x\right)=100000\ne 200000=\underset{x\to 4^{+}}{\lim }C\left(x\right)$. Suy ra không tồn tại $\underset{x\to 4}{\lim }C\left(x\right)$.

Bài 6 trang 85 Toán 11 Tập 1:Lực hấp dẫn do Trái Đất tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách r tính từ tâm của nó là F(r) =trong đó M là khối lượng, R là bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn. Hàm số F(r) có liên tục trên (0; +∞) không?

Lời giải:

+) Ta có: y = $\frac{GMr}{R^3}$ liên tục trên (0; R) và y = $\frac{GM}{r^2}$ liên tục trên (R; + ∞).

+) Tại r = R, ta có:

$\underset{r\to R^{-}}{\lim }F\left(r\right)=\underset{r\to R^{-}}{\lim }\frac{GMr}{R^3}=\frac{GM}{R^2}$

$\underset{r\to R^{+}}{\lim }F\left(r\right)=\underset{r\to R^{-}}{\lim }\frac{GM}{r^2}=\frac{GM}{R^2}$

Suy ra $\underset{r\to R^{-}}{\lim }F\left(r\right)=\underset{r\to R^{+}}{\lim }F\left(r\right)$. Do đó $\underset{r\to R}{\lim }F\left(r\right)=\frac{GM}{R^2}$

Mà $F\left(R\right)=\frac{GM}{R^2}$ nên $\underset{r\to R}{\lim }F\left(r\right)=F\left(R\right)=\frac{GM}{R^2}$

Suy ra hàm số liên tục tại x = R.

Vậy hàm số liên tục trên (0; +∞).

Bài 1 trang 85 Toán 11 Tập 1:lim$\frac{n+3}{n^2}$bằng:

A. 1;

B. 0;

C. 3;

D. 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Ta có: $\lim \frac{n+3}{n^2}=\lim \frac{\frac{1}{n}+\frac{3}{n^2}}{1}=0$.

Bài 2 trang 85 Toán 11 Tập 1:Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

A. $\frac{3}{4}$;

B. $\frac{5}{4}$;

C. $\frac{4}{3}$;

D. $\frac{6}{5}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là C

Cấp số nhân lùi vô hạn đã cho có số hạng đầu u₁ = 1 và công bội q = $\frac{1}{4}$ có tổng bằng:

Bài 3 trang 85 Toán 11 Tập 1:$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-9}{x-3}$bằng

A. 0;

B. 6;

C. 3;

D. 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Ta có: $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-9}{x-3}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}{x-3}=\underset{x\to 3}{\lim }\left(x+3\right)=6$.

Bài 4 trang 85 Toán 11 Tập 1:Hàm số: f(x) =liên tục tại x = 2 khi

A. m = 3;

B. m = 5;

C. m = – 3;

D. m = – 5.

Lời giải:

Đáp án đúng là D

Ta có: $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(x^2+2x+m\right)=m+8$

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }3=3$

Để hàm số liên tục tại x = 2 thì m + 8 = 3 ⇔ m = – 5.

Vậy với m = – 5 thì hàm số đã cho liên tục tại x = 2.

Bài 5 trang 85 Toán 11 Tập 1:$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x-1}{x}$bằng

A. 2;

B. – 1;

C. 0;

D. 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là A

Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x-1}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2-\frac{1}{x}}{1}=2$.