Giải Toán 11 trang 62 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11trang 62 Tập 1

Luyện tập 3 trang 62 Toán 11 Tập 1:Chứng minh rằng: lim${\left(\frac{e}{\pi }\right)}^n$= 0.

Lời giải:

Ta có $\frac{e}{\pi }$< 1do đó lim${\left(\frac{e}{\pi }\right)}^n$ = 0.

II. Định lí về giới hạn hữu hạn

Hoạt động 3 trang 62 Toán 11 Tập 1:Cho hai dãy số (u_n), (v_n) với u_n= 8+$\frac{1}{n}$; v_n= 4-$\frac{2}{n}$.

a) Tính limu_n, limv_n.

b) Tính lim(u_n + v_n) và so sánh giá trị đó với tổng limu_n + limv_n.

c) Tính lim(u_n.v_n) và so sánh giá trị đó với tổng limu_n.limv_n.

Lời giải:

a) Ta có: lim(u_n-8) = lim$\left(8+\frac{1}{n}-8\right)$ = 0.

Do đó limu_n = 8.

Ta có: lim(v_n-4) = lim$\left(4-\frac{2}{n}-4\right)$ = 0.

Do đó limv_n = 4.

b) limu_n + limv_n = 8 + 4 = 12.

Ta có: u_n + v_n = 8+$\frac{1}{n}$+4-$\frac{2}{n}$ = 12-$\frac{1}{n}$

Ta lại có: lim(u_n+v_n-12) = lim$\left(12-\frac{1}{n}-12\right)$ = 0.

Suy ra lim(u_n + v_n) = 12.

Vì vậy lim(u_n + v_n) = limu_n + limv_n.

b) Ta có: u_n.v_n = $\left(8+\frac{1}{n}\right)\left(4-\frac{2}{n}\right)=32-\frac{12}{n}-\frac{2}{n^2}$.

Khi đó lim(u_n.v_n – 32) = lim$\left(32-\frac{12}{n}-\frac{2}{n^2}-32\right)$=0.

Ta lại có: limu_n.limv_n = 8.4 = 32.

Vì vậy limu_n.limv_n = lim(u_nv_n).

Luyện tập 4 trang 62 Toán 11 Tập 1:Tính các giới hạn sau:

a) lim$\frac{8n^2+n}{n^2}$;

b) lim$\frac{\sqrt{4+n^2}}{n}$.

Lời giải:

a) lim$\frac{8n^2+n}{n^2}=\lim \left(8+\frac{1}{n}\right)=\lim 8+\lim \frac{1}{n}=8$.

b) $\lim \frac{\sqrt{4+n^2}}{n}=\lim \sqrt{\frac{4}{n^2}+1}=\sqrt{\lim \left(\frac{4}{n^2}+1\right)}=1$.