Giải Toán 10 trang 37 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Giải Toán 10 trang 37 Tập 1

Vận dụng trang 37 Toán 10 Tập 1: Một chiếc đu quay có bán kính 75 m, tâm của vòng quay ở độ cao 90 m (H.3.7), thời gian thực hiện mỗi vòng quay của đu quay là 30 phút. Nếu một người vào cabin tại vị trí thấp nhất của vòng quay, thì sau 20 phút quay người đó ở độ cao bao nhiêu mét?

Lời giải:

Giả sử chiếc đu quay quay theo chiều kim đồng hồ.

Gọi M là vị trí thấp nhất của cabin, M’ là vị trí của cabin sau 20 phút và các điểm A, A’, B, H (như hình vẽ).

Vì đi cả vòng quay mất 30 phút nên sau 20 phút, cabin sẽ đi quãng đường bằng $\frac{2}{3}$ chu vi đường tròn.

Sau 15 phút, cabin di chuyển từ điểm M đến điểm B, đi được $\frac{1}{2}$ chu vi đường tròn.

Trong 5 phút tiếp theo, cabin đi chuyển từ điểm B đến điểm M’ tương ứng $\frac{1}{6}$ chu vi đường tròn hay $\frac{1}{3}$cung tròn $\stackrel{⏜}{A\text{'}A}$.

Do đó: $\widehat{BOM\text{'}}=\frac{1}{3}.{180}^o={60}^o$

$\Rightarrow \widehat{AOM\text{'}}={90}^o-{60}^o={30}^o$

Ta có $M\text{'}H=\sin {30}^o.OM\text{'}=\frac{1}{2}.75=37,5$(m).

Do đó, độ cao của người đó là:

37,5 + 90 = 127,5 (m).

Vậy sau 20 phút quay người đó ở độ cao 127,5 m.

Bài tập

Bài 3.1 trang 37 Toán 10 Tập 1: Không dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) (2sin 30^o + cos 135^o – 3tan 150^o) . (cos 180^o – cot 60^o);

b) sin² 90^o + cos² 120^o + cos² 0^o – tan² 60^o + cot² 135^o;

c) cos 60^o . sin 30^o + cos² 30^o.

Chú ý: sin² α = (sin α)² , cos² α = (cos α)² , tan² α = (tan α)² , cot² α = (cot α)².

Lời giải:

a) Đặt A = (2sin 30^o + cos 135^o – 3tan 150^o) . (cos 180^o – cot 60^o).

Ta có: cos 135^o = – cos 45^o; cos 180^o = – cos 0^o; tan 150^o = –tan30^o; cot60° = tan 30°.

$\Rightarrow$ A = (2sin30^o – cos 45^o + 3tan 30^o) . (– cos 0^o – tan 30^o).

Sử dụng bảng lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$\sin {30}^o=\frac{1}{2}$; $\tan {30}^o=\frac{\sqrt{3}}{3}$; $\cos {45}^o=\frac{\sqrt{2}}{2}$; cos 0^o = 1.

Do đó $A=\left(2.\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}+3.\frac{\sqrt{3}}{3}\right).\left(-1-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

$=-\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{3}\right).\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

$=-\frac{2-\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{2}.\frac{3+\sqrt{3}}{3}$

$=-\frac{\left(2-\sqrt{2}+2\sqrt{3}\right).\left(3+\sqrt{3}\right)}{6}$

$=-\frac{6+2\sqrt{3}-3\sqrt{2}-\sqrt{6}+6\sqrt{3}+6}{6}$

$=-\frac{12+8\sqrt{3}-3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{6}$.

b) Đặt B = sin² 90^o + cos² 120^o + cos² 0^o – tan² 60^o + cot² 135^o.

Ta có: cos 120^o = – cos 60^o; cot 135^o = – cot 45^o

$\Rightarrow$ cos² 120^o = cos² 60^o; cot² 135^o = cot² 45^o

Khi đó B = sin² 90^o + cos² 60^o + cos² 0^o – tan² 60^o + cot² 45^o.

Sử dụng bảng lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

cos 0^o = 1; cot 45^o = 1; $\cos {60}^o=\frac{1}{2}$; $\tan {60}^o=\sqrt{3}$;sin 90^o = 1.

Do đó $B=1^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+1^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2+1^2$

$=1+\frac{1}{4}+1-3+1=\frac{1}{4}$

c) Đặt C = cos 60^o . sin 30^o + cos² 30^o

Sử dụng bảng lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$\sin {30}^o=\frac{1}{2}$; $\cos {30}^o=\frac{\sqrt{3}}{2}$; $\cos {60}^o=\frac{1}{2}$.

Do đó $C=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2$

$=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\frac{4}{4}=1$.

Bài 3.2 trang 37 Toán 10 Tập 1: Đơn giản các biểu thức sau:

a) sin100^o + sin80^o + cos16^o + cos164^o;

b) 2sin (180^o – α) . cot α – cos (180^o – α) . tan α . cot (180^o – α) với 0^o < α < 90^o.

Lời giải:

a) Ta có: sin100^o = sin (180^o–100^o) = sin 80^o;

cos164^o = cos (180^o–16^o) =–cos16^o.

Do đó sin100^o + sin80^o + cos16^o + cos164^o

= sin80^o + sin80^o + cos16^o– cos16^o

= 2sin80^o.

b) Với 0^o < α < 90^o, ta có:

sin (180^o – α) = sin α; cos (180^o – α) = – cos α;

tan (180^o – α) = – tan α; cot (180^o – α) = – cot α.

Khi đó,

2sin (180^o – α) . cot α – cos (180^o – α) . tan α . cot (180^o – α)

= 2sin α . cot α – (– cos α) . tan α . (– cot α)

= 2sin α . cot α – cos α . tan α . cot α

= 2sin α . $\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$– cos α . $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }.\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$

= 2cos α – cos α = cos α.

Bài 3.3 trang 37 Toán 10 Tập 1: Chứng minh các hệ thức sau:

a) sin² α + cos² α = 1;

b) $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$(α ≠ 90^o);

c) 2$1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$(0^o < α < 180^o).

Lời giải:

a)

Gọi M(x; y) là điểm trên đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=\alpha$.

Ta có: OM = 1 (bán kính đường tròn đơn vị).

Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Ta có: $\begin{array}{l}x=\cos \alpha \\ y=\sin \alpha \end{array}\Rightarrow \begin{array}{l}{x}^2={\cos }^2\alpha \\ y^2={\sin }^2\alpha \end{array}$(1)

Mà $\begin{array}{l}\left.x\right|=ON\\ \left.y\right|=OP=MN\end{array}\Rightarrow \begin{array}{l}{x}^2={\left.x\right|}^2=O{N}^2\\ y^2={\left.y\right|}^2=M{N}^2\end{array}$(2)

Từ (1) và (2) suy ra: sin² α + cos² α = ON² + MN² = OM² = 1 (do ∆OMN vuông tại N).

Do đó sin² α + cos² α = 1 (đpcm).

b) Ta có: $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$(α ≠ 90^o)

$1+{\tan }^2\alpha =1+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }$

$=\frac{{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }$.

Mà theo câu a) ta có: sin² α + cos² α = 1 với mọi góc α.

$1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ (đpcm)

c) Ta có: $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$(0^o < α < 180^o)

$1+{\cot }^2\alpha =1+\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }$

$=\frac{{\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }+\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }$.

Mà theo câu a) ta có: sin² α + cos² α = 1 với mọi góc α.

$1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ (đpcm).

Bài 3.4 trang 37 Toán 10 Tập 1: Cho góc α (0^o < α < 180^o) thỏa mãn tan α = 3.

Tính giá trị của biểu thức: $P=\frac{2\sin \alpha -3\cos \alpha }{3\sin \alpha +2\cos \alpha }$.

Lời giải:

Ta có: $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$(α ≠ 90^o)

$\Rightarrow \frac{1}{{\cos }^2\alpha }=1+3^2=10$

$\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{10}\iff \cos \alpha =\pm \frac{\sqrt{10}}{10}$.

Vì 0^o < α < 180^o nên sin α > 0.

Mà tan α = 3 > 0 $\Rightarrow$ cos α > 0 $\Rightarrow$ $\cos \alpha =\frac{\sqrt{10}}{10}$.

Lại có: sin α = cos α . tan α = $3.\frac{\sqrt{10}}{10}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$.

Do đó $P=\frac{2\sin \alpha -3\cos \alpha }{3\sin \alpha +2\cos \alpha }=\frac{2.\frac{3\sqrt{10}}{10}-3.\frac{\sqrt{10}}{10}}{3.\frac{3\sqrt{10}}{10}+2.\frac{\sqrt{10}}{10}}$

$=\frac{\frac{\sqrt{10}}{10}(2.3-3)}{\frac{\sqrt{10}}{10}(3.3+2)}=\frac{3}{11}$.

Vậy với α (0^o < α < 180^o) thỏa mãn tan α = 3 thì $P=\frac{3}{11}$.