Bài 3.3 trang 37 Toán 10 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0^o đến 180^o

Bài 3.3 trang 37 Toán 10 tập 1: Chứng minh các hệ thức sau:

a) sin² α + cos² α = 1;

b) $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$(α ≠ 90^o);

c) 2$1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$(0^o < α < 180^o).

Lời giải:

a)

Gọi M(x; y) là điểm trên đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=\alpha$.

Ta có: OM = 1 (bán kính đường tròn đơn vị).

Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Ta có: $\begin{array}{l}x=\cos \alpha \\ y=\sin \alpha \end{array}\Rightarrow \begin{array}{l}{x}^2={\cos }^2\alpha \\ y^2={\sin }^2\alpha \end{array}$(1)

Mà $\begin{array}{l}\left.x\right|=ON\\ \left.y\right|=OP=MN\end{array}\Rightarrow \begin{array}{l}{x}^2={\left.x\right|}^2=O{N}^2\\ y^2={\left.y\right|}^2=M{N}^2\end{array}$(2)

Từ (1) và (2) suy ra: sin² α + cos² α = ON² + MN² = OM² = 1 (do ∆OMN vuông tại N).

Do đó sin² α + cos² α = 1 (đpcm).

b) Ta có: $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$(α ≠ 90^o)

$1+{\tan }^2\alpha =1+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }$

$=\frac{{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }$.

Mà theo câu a) ta có: sin² α + cos² α = 1 với mọi góc α.

$1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ (đpcm)

c) Ta có: $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$(0^o < α < 180^o)

$1+{\cot }^2\alpha =1+\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }$

$=\frac{{\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }+\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }$.

Mà theo câu a) ta có: sin² α + cos² α = 1 với mọi góc α.

$1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ (đpcm).