Để giúp xe lửa chuyển từ một đường ray hướng này

Ta xem hai đoạn đường ray thẳng là tiếp tuyến của hai đoạn đường ray vòng cung

Điểm B cố định nằm trong đường tròn có cung AC

Đường thẳng OB cắt đường tròn đó là A và A’

A cố định và A’ cố định

B là tiếp điểm cung nhỏ trong nên BC là tiếp tuyến của đường tròn (O; OB)

Do đó, BC vuông góc với OB tại B

Kéo dài BC cắt đường tròn (O; OA) tại C’

 $\Rightarrow BC=BC\text{'}$(đường kính vuông góc với dây cung)

Xét tam giác BAC và tam giác BA’C’ có:

$\widehat{ABC}=\widehat{C\text{'}BA\text{'}}$(hai góc đối đỉnh)

 $\widehat{ACB}=\widehat{C\text{'}A\text{'}B}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC’)

Do đó, tam giác BAC và tam giác BC’A’ đồng dạng (góc – góc)

$\Rightarrow \frac{BC\text{'}}{AB}=\frac{BA\text{'}}{BC}$

$\Rightarrow BC.BC\text{'}=AB.BA\text{'}$

Mà BC = BC’ , BA’ = 2R – AB

$\Rightarrow B{C}^2=AB.\left(2R-AB\right)$

$\Rightarrow {\left(28,4\right)}^2\approx 1,1.\left(2R-1,1\right)$

$\Rightarrow 2,2R\approx 806,56+1,21$

 $\Rightarrow R\approx 367,2$(m).

Vậy bán kính đoạn đường ray hình vòng cung là 367,2 m.