Cho nửa đường tròn đường kính AB, tâm O

a)  $\widehat{ADC}$ và  $\widehat{ABC}$có bằng nhau không? Vì sao?

b) Chứng minh CD song song với AB.

c) Chứng minh AD vuông góc với OC.

d) Tính số đo của $\widehat{DAO}$.

e) So sánh hai cung BE và CD.

a)

Trong đường tròn (O) ta có:

$\widehat{ADC}=\widehat{ABC}$(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

b)

Tam giác ACB nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên tam giác ABC vuông tại C

O là trung điểm của AB (tâm – đường kính)

Do đó, CO là trung tuyến ứng với cạnh huyền

 $\Rightarrow CO=OA=\frac{1}{2}AB$ (tính chất tam giác vuông)

Mà AC = AO (bánh kính đường tròn (A))

$\Rightarrow CO=OA=AC$

Do đó, tam giác ACO đều

$\Rightarrow \widehat{AOC}={60}^o$

Ta có: Tam giác ADB nội tiếp trong đường tròn đường kính AB nên tam giác ADB vuông tại D

O là trung điểm của AB nên DO là trung tuyến ứng với cạnh huyền

 $\Rightarrow DO=OB=OA=\frac{1}{2}AB$ (tính chất tam giác vuông)

Mà BD = BO (bán kính đường tròn (B))

$\Rightarrow BO=OD=BD$

Do đó, tam giác BOD đều

$\Rightarrow \widehat{ODB}=\widehat{BOD}={60}^o$

Mà $\widehat{AOC}+\widehat{COD}+\widehat{BOD}={180}^o$

$\Rightarrow \widehat{COD}={180}^o-\left(\widehat{AOC}+\widehat{BOD}\right)={180}^o-\left({60}^o+{60}^o\right)={60}^o$

Mà OC = OD (do cùng bằng $\frac{1}{2}AB$)

Do đó, tam giác COD đều

$\Rightarrow \widehat{ODC}={60}^o\Rightarrow \widehat{ODC}=\widehat{BOD}$

Do đó, CD // AB (vì có hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

c)

Có: OA = AC = OC (chứng minh phần b)

Mà tam giác OCD đều (chứng minh phần b) nên OC = OD = CD

Suy ra AC = OA = OD = DC

Do đó, tứ giác AODC là hình thoi

 $\Rightarrow AD\perp OC$ (tính chất hình thoi)

d)

Tam giác BOD đều (chứng minh phần b)

$\Rightarrow \widehat{OBD}=\widehat{ABD}={60}^o$

Vì tam giác ADB vuông tại D (chứng minh phần b)

$\Rightarrow \widehat{DAB}+\widehat{ABD}={90}^o$

$\Rightarrow \widehat{DAB}={90}^o-\widehat{ABD}={90}^o-{60}^o={30}^o$

$\Rightarrow \widehat{DAO}=\widehat{DAB}={30}^o$

e)

OE // AD (gt)

 $\Rightarrow \widehat{EOB}=\widehat{DAO}={30}^o$ (hai góc đồng vị)

sđ$\stackrel{⏜}{BE}=\widehat{EOB}={30}^o$(góc ở tâm chắn cung)

sđ$\stackrel{⏜}{CD}=\widehat{COD}={60}^o$(góc ở tâm chắn cung)

Do đó, số đo cung CD gấp đôi số đo cung BE.