Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không

TH1: M ở bên trong đường tròn (O)

Kẻ cát tuyến MAB bất kì của đường tròn (O) và đường thẳng MO cắt đường tròn (O) tại C và D.

Xét tam giác MAC và tam giác MDB có:

$\widehat{AMC}=\widehat{BMD}$(hai góc đối đỉnh)

 $\widehat{A}=\widehat{D}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

Do đó, tam giác MAC và tam giác MDB đồng dạng (góc – góc)

$\Rightarrow \frac{MA}{MD}=\frac{MC}{MB}$

 $\Rightarrow MA.MB=MC.MD$(1)

Vì M, O cố định nên điểm C và D cố định nên độ dài của các đoạn MC và MD không đổi, suy ra tích MC.MD không đổi (2)

Từ (1) và (2) suy ra tích MA.MB không đổi khi cát tuyến MAB thay đổi.

TH2: M ở ngoài đường tròn (O)

Kẻ cát tuyến MAB bất kì của đường tròn (O) và đường thẳng MO cắt đường tròn (O) tại C và D

Xét tam giác MAD và tam giác MCB

Góc M chung

 $\widehat{B}=\widehat{D}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Do đó, tam giác MAD và tam giác MCB đồng dạng (góc – góc)

$\Rightarrow \frac{MC}{MA}=\frac{MB}{MD}$

 $\Rightarrow MA.MB=MC.MD$(3)

Vì M và O cố định suy ra điểm C, D cố định nên độ dài của các đoạn MC và MD không đổi, suy ra tích MC.MD không đổi (4)

Từ (3) và (4) ta suy ra tích MA.MB không đổi khi cát tuyến MAB thay đổi.