Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có sin A + sin B + sin C

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác

Bài 1.15 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có

sin A + sin B + sin C = $4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}$ .

Lời giải:

$VT=\sin A+\sin B+\sin C=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}+2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}$.

Mặt khác, trong tam giác ABC, ta có A + B + C = π nên $\frac{A+B}{2}=\frac{\pi }{2}-\frac{C}{2}$ .

Từ đó suy ra: $\sin \frac{A+B}{2}=\cos \frac{C}{2},\sin \frac{C}{2}=\cos \frac{A+B}{2}$ .

Vậy $VT=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}+2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}$

$=2\cos \frac{C}{2}\cos \frac{A-B}{2}+2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{C}{2}$

$=2\cos \frac{C}{2}\left(\cos \frac{A-B}{2}+\cos \frac{A+B}{2}\right)$

$=2\cos \frac{C}{2}.2\cos \frac{\frac{A-B}{2}+\frac{A+B}{2}}{2}\cos \frac{\frac{A-B}{2}-\frac{A+B}{2}}{2}$

$=4\cos \frac{C}{2}\cos \frac{A}{2}\cos \left(-\frac{B}{2}\right)$

$=4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}=VP$ (điều phải chứng minh).