Chứng minh đẳng thức sau sin^4 a + cos^4 a = 1 - 1/2sin^2 2a

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác

Bài 1.12 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh đẳng thức sau

${\sin }^{4}a+{\cos }^{4}a=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2a=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cos 4a$.

Lời giải:

sin⁴ a + cos⁴ a = (sin² a + cos² a)² – 2sin² a cos² a

= 1 – 2 . (sin a cos a)²

=$1-2.{\left(\frac{\sin 2a}{2}\right)}^2=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2a$

$=1-\frac{1}{2}.\frac{1-\cos 4a}{2}=1-\frac{1-\cos 4a}{4}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cos 4a$ 

Vậy ${\sin }^{4}a+{\cos }^{4}a=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2a=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cos 4a$ .