Cho cos 2x = -4/5 với pi/4

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác

Bài 1.11 trang 10 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cos 2x = $-\frac{4}{5}$ với $\frac{\pi }{4}<x<\frac{\pi }{2}$ . Tính sin x, cos x, $\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$ , $\cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$ .

*Phương pháp giải

Sử dụng một số công thức liên quan để tính theo yêu cầu của đề bài:

$cos2a=co{s}^{2}a-{\sin }^{2}a=2co{s}^{2}a-1=1-2{\sin }^{2}a$

sin 2x = 2sinx.cosx

sin (a + b) = sin a.cos b + cos a.sin b

2. cos(a + b)= cos a.cos b - sin a.sin b

Lời giải:

Vì $\frac{\pi }{4}$ < x < $\frac{\pi }{2}$ nên sin x > 0, cos x > 0. Áp dụng công thức hạ bậc, ta có

${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}=\frac{1-\left(-\frac{4}{5}\right)}{2}=\frac{9}{10}$⇒ sin x = $\frac{3}{\sqrt{10}}$ .

${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}=\frac{1+\left(-\frac{4}{5}\right)}{2}=\frac{1}{10}$⇒ cos x = $\frac{1}{\sqrt{10}}$ .

Theo công thức nhân đôi, ta có sin 2x = 2 sin x cos x = $2.\frac{3}{\sqrt{10}}.\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$

Theo công thức cộng, ta có

$\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin x\cos \frac{\pi }{3}+\cos x\sin \frac{\pi }{3}=\frac{3}{\sqrt{10}}.\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{10}}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3+\sqrt{3}}{2\sqrt{10}}$

$\cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\cos 2x\cos \frac{\pi }{4}+\sin 2x\sin \frac{\pi }{4}=\left(-\frac{4}{5}\right).\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3}{5}.\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{10}$