Chứng minh rằng: Nếu MN < MP thì HN < HP và góc NMH < góc PMH

Giải Toán 7 Ôn tập chương 3

Video giải Bài 64 trang 87 Toán lớp 7 Tập 2

Bài 64 trang 87 Toán lớp 7 Tập 2: Gọi MH là đường cao của tam giác MNP. Chứng minh rằng: Nếu $MN<MP$ thì $HN<HP$ và $\widehat{NMH}<\widehat{PMH}$ (yêu cầu xét hai trường hợp: khi góc N nhọn và khi góc N tù).

Lời giải:

+ So sánh NH và PH.

MH là đường cao của ΔMNP nên H là hình chiếu của M trên đường thẳng NP.

⇒ HN là hình chiếu của đường xiên MN trên đường thẳng NP; HP là hình chiếu của đường xiên MP trên đường thẳng NP.

Mà MN < MP ⇒ HN < HP (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).

+ So sánh  $\widehat{NMH}$ và $\widehat{PMH}$

 TH1: Xét ΔMNP có góc N nhọn.

Vì ΔMNP có góc N nhọn nên suy ra góc P nhọn (vì MN < MP nên $\widehat{P}<\widehat{N}$)  (1)

ΔMNH vuông tại H có $\widehat{HNM}+\widehat{NMH}=90°$ (2)

ΔMPH vuông tại H có $\widehat{HMP}+\widehat{HPM}=90°$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat{NMH}<\widehat{PMH}$

 TH2: Xét ΔMNP có góc N tù.

Vì ΔMNP có góc N tù nên suy ra H nằm ngoài cạnh NP.

Lại có HN < HP nên N nằm giữa H và P

⇒ Tia MN ở giữa hai tia MH và MP

nên suy ra $\widehat{NMH}<\widehat{PMH}$.