Cho tam giác MNP với trung tuyến MR và trọng tâm Q. Tính tỉ số các diện tích

Giải Toán 7 Ôn tập chương 3

Video giải Bài 67 trang 87 Toán lớp 7 Tập 2

Bài 67 trang 87 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác MNP với trung tuyến MR và trọng tâm Q.

a) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác MPQ và RPQ.

b) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác MNQ và RNQ.

c) So sánh các diện tích của hai tam giác RPQ và RNQ.

Từ kết quả trên, hãy chứng minh các tam giác QMN, QNP, QPM có cùng diện tích.

Gợi ý: Hai tam giác ở mỗi câu a, b, c có chung đường cao.

Lời giải:

a) Gọi độ dài đường vuông góc kẻ từ P đến MR là h. Khi đó ΔMPQ và ΔRPQ có cùng đường cao.

Vì Q là trọng tâm của ∆MNP

 nên $\frac{MQ}{QR}=2$.

$\frac{S_{MPQ}}{S_{RPQ}}=\frac{\frac{1}{2}.h.MQ}{\frac{1}{2}.h.QR}=\frac{MQ}{QR}=2\Rightarrow S_{MPQ}=2S_{RPQ}$ (1)

b) Gọi k là độ dài đường vuông góc kẻ từ N đến MR. Khi đó ΔMNQ và ΔRNQ có cùng đường cao.

Vì Q là trọng tâm của ∆MNP

nên $\frac{MQ}{QR}=2$.

$\frac{S_{MNQ}}{S_{RNQ}}=\frac{\frac{1}{2}.k.MQ}{\frac{1}{2}.k.QR}=\frac{MQ}{QR}=2\Rightarrow S_{MNQ}=2S_{RNQ}$  (2)

c) Gọi m là độ dài đường vuông góc kẻ từ Q đến NP. Khi đó ΔRPQ và ΔRNQ có cùng đường cao.

$\frac{S_{PQR}}{S_{QNR}}=\frac{\frac{1}{2}.m.PR}{\frac{1}{2}.k.NR}=\frac{PR}{NR}=1\Rightarrow S_{PQR}=S_{QNR}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra    (4)

Ta có:

$2=\frac{S_{MPQ}}{S_{RPQ}}=\frac{S_{MNQ}}{S_{RNQ}}=\frac{S_{MPQ}+S_{MNQ}}{S_{RPQ}+S_{RNQ}}=\frac{S_{MPQ}+S_{MNQ}}{S_{NPQ}}=\frac{2S_{MPQ}}{S_{NPQ}}$

$\Rightarrow \frac{S_{MPQ}}{S_{NPQ}}=1\Rightarrow S_{MPQ}=S_{NPQ}$ (5)

Từ (4) và (5) suy ra $S_{MNQ}=S_{MPQ}=S_{NPQ}$.