Chứng minh rằng mỗi dãy số (un) sau là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng đầu

Giải SBT Toán 11 Bài 7: Cấp số nhân

Bài 2.21 trang 39 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng mỗi dãy số (u_n) sau là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng đầu và công bội của nó.

a) $u_n=-3.{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$;

b) $u_n=\frac{2^n}{3^{n-1}}$.

Lời giải:

a) Từ $u_n=-3.{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ suy ra $u_{n+1}=-3.{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}=-\frac{3}{2}.{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$.

Như vậy $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{-\frac{3}{2}.{\left(\frac{1}{2}\right)}^n}{-3.{\left(\frac{1}{2}\right)}^n}=\frac{1}{2}$ không đổi với mọi n.

Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = $-\frac{3}{2}$ và công bội $q=\frac{1}{2}$.

b) Từ $u_n=\frac{2^n}{3^{n-1}}$ suy ra $u_{n+1}=\frac{2^{n+1}}{3^{n+1-1}}=\frac{{2.2}^n}{{3.3}^{n-1}}=\frac{2}{3}.\frac{2^n}{3^{n-1}}$.

Như vậy $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\frac{2}{3}.\frac{2^n}{3^{n-1}}}{\frac{2^n}{3^{n-1}}}=\frac{2}{3}$ không đổi với mọi n.

Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = $\frac{2}{3}$.