Chứng minh rằng: a) Nếu a1, a2, a3, ... và b1, b2, b3, ... là hai cấp số cộng thì

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 2 trang 40

Bài 2.44 trang 42 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng:

Lời giải:

a) Theo giả thiết, ta giả sử dãy số (a_n) là cấp số cộng với công sai d₁ và dãy số (b_n) là cấp số cộng với công sai d₂ nên ta có:

a_{n + 1} = a_n + d₁ và b_{n + 1}  = b_n + d₂ với mọi n ≥ 1.

Khi đó a_{n + 1} + b_{n + 1} = (a_n + d₁) + (b_n + d₂) = (a_n + b_n) + d₁ + d₂ với mọi n ≥ 1.

Vậy dãy số (a_n + b_n) là cấp số cộng với công sai d₁ + d₂.

b) Theo giả thiết, ta giả sử dãy số (a_n) là cấp số nhân với công bội q₁ và dãy số (b_n) là cấp số nhân với công bội q₂ nên ta có:

q_{n + 1} = a_nq₁ và b_{n + 1}  = b_nq₂ với mọi n ≥ 1.

Khi đó a_{n + 1}b_{n + 1} = (a_nq₁) . (b_nq₂) = (a_nb_n)q₁q₂ với mọi n ≥ 1.

Vậy dãy số (a_nb_n) là cấp số nhân với công bội q₁q₂.