Chứng minh hàm số f(x) = |x – 2| không có đạo hàm tại điểm x0 = 2, nhưng có đạo hàm tại

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Lời giải:

Hàm số y = f(x) = |x – 2|.

• Với x > 2, ta có: f(x) = |x – 2| = x – 2.

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x > 2.

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = (x + ∆x – 2) – (x – 2) = ∆x.

Suy ra: $\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=\frac{\text{Δ}x}{\text{Δ}x}=1.$

Ta thấy: $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\text{Δy}}{\text{Δ}x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }1=1.$

Vậy đạo hàm của hàm số f(x) = |x – 2| tại điểm x > 2 là 1.

• Với x < 2, ta có: f(x) = |x – 2| = 2 – x.

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = (2 – x – ∆x) – (2 – x) = –∆x.

Suy ra: $\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=\frac{-\text{Δ}x}{\text{Δ}x}=-1.$

Ta thấy: $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\text{Δy}}{\text{Δ}x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(-1\right)=-1.$

Vậy đạo hàm của hàm số f(x) = |x – 2| tại điểm x < 2 là –1.

• Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀ = 2.

Ta có: ∆y = f(2 + ∆x) – f(2) = |2 + ∆x – 2| – |2 – 2| = ∆x.

Suy ra: $\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=\frac{\left.\text{Δ}x\right|}{\text{Δ}x}$.

Ta thấy: $\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\left.\text{Δ}x\right|}{\text{Δ}x}=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\text{Δ}x}{\text{Δ}x}=1.$

$\underset{\text{Δ}x\to 0^{-}}{\text{lim}}\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=\underset{\text{Δ}x\to 0^{-}}{\text{lim}}\frac{\left.\text{Δ}x\right|}{\text{Δ}x}=\underset{\text{Δ}x\to 0^{-}}{\text{lim}}\frac{-\text{Δ}x}{\text{Δ}x}=-1.$

Do đó, không tồn tại $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\text{Δ}f}{\text{Δ}x}$ nên hàm số không có đạo hàm tại điểm x₀ = 2.

Vậy hàm số f(x) = |x – 2| không có đạo hàm tại điểm x₀ = 2, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 2.