Chứng minh các đẳng thức sau: a) cos^4 x – sin^4 x = 2 cos^2 x – 1

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Bài 1.6 trang 7 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) cos⁴ x – sin⁴ x = 2 cos² x – 1;

b) tan² x – sin² x = tan² x . sin² x;

c) (sin x + cos x)² + (sin x – cos x)² = 2.     

Lời giải:

a) Ta có VT = cos⁴ x – sin⁴ x

= (cos² x – sin² x)(cos² x + sin² x)

= cos² x – sin² x

= cos² x – (1 – cos² x) = 2 cos² x – 1 = VP.                   

b) Ta có

VT = tan² x – sin² x = $\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}-{\sin }^{2}x$$=\frac{{\sin }^{2}x-{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}$$=\frac{{\sin }^{2}x\left(1-{\cos }^{2}x\right)}{{\cos }^{2}x}$

$=\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}.{\sin }^{2}x$ = tan² x . sin² x = VP.                    

c) Ta có

VT = (sin x + cos x)² + (sin x – cos x)²

= sin² x + 2sin x cos x + cos² x + sin² x – 2sin x cos x + cos² x

= 2 sin² x + 2 cos² x = 2(sin² x + cos² x) = 2 . 1 = 2 = VP.