Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và góc AOB = 90 độ, góc BOC = 60 độ

Giải SBT Toán 11 Bài 27: Thể tích

Bài 7.36 trang 41 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và $\widehat{AOB}=90°$; $\widehat{BOC}=60°$; $\widehat{COA}=120°$. Tính theo a thể tích khối tứ diện OABC.

Lời giải:

Xét tam giác OAB vuông tại O, có AB = $\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}$$=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.

Xét tam giác BOC có OB = OC và $\widehat{BOC}=60°$ nên tam giác BOC là tam giác đều.

Do đó BC = a.

Áp dụng định lí Côsin trong tam giác OAC có:

$A{C}^2=O{A}^2+O{C}^2$-2.OA.OC.cos$\widehat{AOC}$

= a²+a²+2.a².$\frac{1}{2}$ = 3a² $\Rightarrow A{C}^2=3a^2$$\Rightarrow AC=a\sqrt{3}$

Có $A{B}^2+B{C}^2=2a^2+a^2=3a^2$. Do đó AC² = AB² + BC².

Vì AC² = AB² + BC² nên tam giác ABC vuông tại B.

Do đó $S_{ABC}=\frac{AB\cdot BC}{2}=\frac{a\sqrt{2}\cdot a}{2}=\frac{a^2\sqrt{2}}{2}$.

Kẻ OH $\perp$ (ABC) tại H.

Vì OA = OB = OC nên HA = HB = HC.

Khi đó, H là trung điểm của AC nên AH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Xét tam giác OAH vuông tại H, có OH = $\sqrt{O{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{a^2-\frac{3a^2}{4}}=\frac{a}{2}$.

Vậy $V_{OABC}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot OH=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$.