Cho khối chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, góc giữa mặt phẳng

Giải SBT Toán 11 Bài 27: Thể tích

Bài 7.34 trang 41 SBT Toán 11 Tập 2: Cho khối chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 60°. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC và BD.

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO $\perp$ (ABCD).

Kẻ OM $\perp$ CD tại M. Vì SO $\perp$ (ABCD) nên SO $\perp$ CD mà OM $\perp$ CD nên CD $\perp$ (SOM), suy ra SM $\perp$ CD. Do đó góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng OM và SM, mà (OM,SM) = $\widehat{SMO}$. Do đó $\widehat{SMO}$ = 60^o.

Xét tam giác BCD có OM // BC (vì cùng vuông góc với CD) mà O là trung điểm của BD nên M là trung điểm của CD. Do đó OM là đường trung bình của tam giác BCD nên OM = $\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$.

Xét tam giác SOM vuông tại O có SO = OM.tan$\widehat{SMO}$ = $\frac{a}{2}$.tan60^o = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Vậy $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$.