Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC) và góc BAC = 60 độ, biết diện tích các tam giác ABC

Giải SBT Toán 11 Bài 27: Thể tích

Bài 7.39 trang 41 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA $\perp$ (ABC) và $\widehat{BAC}=60°$, biết diện tích các tam giác ABC, SAB và SAC lần lượt là 3$\sqrt{3}$; 9; 12. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Lời giải:

Đặt SA = a, AB = b, AC = c.

Khi đó $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot bc\cdot \sin 60°\cdot a=\frac{abc\sqrt{3}}{12}$.

Theo đề bài, $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot bc\cdot \sin 60°=3\sqrt{3}\Rightarrow bc=12$ .

Do SA $\perp$ (ABC) nên SA $\perp$ AB hay tam giác SAB vuông tại A.

Khi đó $S_{SAB}=\frac{ab}{2}=9\Rightarrow ab=18$.

Do SA $\perp$ (ABC) nên SA $\perp$ AC hay tam giác SAC vuông tại A.

Khi đó $S_{SAC}=\frac{ac}{2}=12\Rightarrow ac=24$.

Do đó (abc)² = 12 × 18 × 24 = 72², suy ra abc = 72.

Vậy $V_{S.ABC}=\frac{72\sqrt{3}}{12}=6\sqrt{3}$ .