Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là chân đường

Giải SBT Toán 11 Bài 23: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 7.7 trang 28 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O đến mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:

a) BC $\perp$ (OAH);

b) H là trực tâm của tam giác ABC;

c) $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}$ .

Lời giải:

a) Vì OA $\perp$ OB, OA $\perp$ OC nên OA $\perp$ (OBC). Suy ra OA $\perp$ BC.

Mà OH $\perp$ (ABC) nên OH $\perp$ BC. Do đó BC $\perp$ (OAH).

b) Vì BC $\perp$ (OAH) nên BC $\perp$ AH, do đó AH là đường cao của tam giác ABC. (1)

Có OH $\perp$ (ABC) nên OH $\perp$ AC.

Có OB $\perp$ OA, OC $\perp$ OB nên OB $\perp$ (OAC) nên OB $\perp$ AC mà OH $\perp$ AC, từ đó suy ra AC $\perp$ (OBH), suy ra CA $\perp$ BH, do đó BH là đường cao của tam giác ABC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra H là giao hai đường cao của tam giác ABC.

Do đó H là trực tâm của tam giác ABC.

c) Gọi K là giao điểm của AH với BC.

Vì OA $\perp$ (OBC) nên OA $\perp$ OK .

Xét tam giác OAK vuông tại O, có OH là đường cao nên $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{K}^2}$ .

Vì AK $\perp$ BC mà OA $\perp$ BC nên BC $\perp$ (OAK), suy ra OK $\perp$ BC.

Xét tam giác OBC vuông tại O, có OK là đường cao nên $\frac{1}{O{K}^2}=\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}$ .

Do đó $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}$ .