Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng

Giải SBT Toán 11 Bài 23: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 7.10 trang 28 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng:

a) SO $\perp$ (ABCD);

b) AC $\perp$ (SBD) và BD $\perp$ (SAC).

Lời giải:

a)

Vì ABCD là hình thoi, O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC, BD.

Xét tam giác SAC có SA = SC, SO là trung tuyến nên SO là đường cao hay SO $\perp$ AC.

Xét tam giác SBD có SB = SD, SO là trung tuyến nên SO là đường cao hay SO $\perp$ BD.

Do đó SO $\perp$ (ABCD).

b) Do ABCD là hình thoi nên AC $\perp$ BD. (1)

Mà SO $\perp$ (ABCD) nên AC $\perp$ SO (2) và BD $\perp$ SO (3).

Từ (1) và (2), suy ra AC $\perp$ (SBD).

Từ (1) và (3), suy ra BD $\perp$ (SAC).