Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại A, B

a) Số đo cung nhỏ AB của (O; R) lớn hơn số đo cung nhỏ AB của (O’; R’).

b) Số đo cung lớn AB của (O; R) nhỏ hơn số đo cung lớn AB của (O’; R’).

c) Số đo hai cung nhỏ bằng nhau.

a)

Trong (O; R) ta có:

Góc AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB nên ta có:  $\widehat{AOB}=$sđ$\stackrel{⏜}{AB}$

Trong (O’; R’) ta có:

Góc AO’B là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB nên ta có:  $\widehat{AO\text{'}B}=$sđ$\stackrel{⏜}{AB}$

Vì số đo cung nhỏ AB của (O; R) lướn hơn số đo cung nhỏ AB của (O’; R’) nên ta suy ra:  $\widehat{AOB}>\widehat{AO\text{'}B}$(1)

Xét tam giác AOO’ và tam giác BOO’ có:

O’A = O’B = R’

OA = OB = R

OO’ là cạnhchung

Do đó, tam giác AOO’ bằng tam giác BOO’ (cạnh – cạnh – cạnh)

 $\Rightarrow \widehat{AOO\text{'}}=\widehat{BOO\text{'}}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}$(2) ;  $\widehat{AO\text{'}O}=\widehat{BO\text{'}O}=\frac{1}{2}\widehat{AO\text{'}B}$(3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra:$\widehat{AOO\text{'}}>\widehat{AO\text{'}O}$

Xét tam giác AOO’ có:  $\widehat{AOO\text{'}}>\widehat{AO\text{'}O}$(cmt)

 $\Rightarrow O\text{'}A>OA$(theo bất đẳng thức trong tam giác)

$\Rightarrow R\text{'}>R$.

b)

Trong (O; R) ta có:

Góc AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB nên ta có:  $\widehat{AOB}=$sđ$\stackrel{⏜}{AB}$

Trong (O’; R’) ta có:

Góc AO’B là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB nên ta có:  $\widehat{AO\text{'}B}=$sđ$\stackrel{⏜}{AB}$

Trong (O; R) số đo cung lớn AB cộng với số đo cung nhỏ AB bằng${360}^o$

Mà số đo cung nhỏ AB của (O; R) nhỏ hơn số đo cung lớn AB của (O’; R’)

Do đó, số đo cung nhỏ AB của (O; R) lớn hơn số đo cung nhỏ AB của (O’; R’) nên theo chứng minh phần (a) ta có: R’ > R.

c)

Trong (O; R) ta có:

Góc AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB nên ta có:  $\widehat{AOB}=$sđ$\stackrel{⏜}{AB}$

Trong (O’; R’) ta có:

Góc AO’B là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB nên ta có:  $\widehat{AO\text{'}B}=$sđ$\stackrel{⏜}{AB}$

Mà số đo hai cung nhỏ AB của (O; R) và (O’; R’) bằng nhau nên ta có:

  $\widehat{AOB}=\widehat{AO\text{'}B}$(1c)

Xét tam giác AOO’ và tam giác BOO’ có:

O’A = O’B = R’

OA = OB = R

OO’ là cạnhchung

Do đó, tam giác AOO’ bằng tam giác BOO’ (cạnh – cạnh – cạnh)

 $\Rightarrow \widehat{AOO\text{'}}=\widehat{BOO\text{'}}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}$(2c) ;  $\widehat{AO\text{'}O}=\widehat{BO\text{'}O}=\frac{1}{2}\widehat{AO\text{'}B}$(3c)

Từ (1c), (2c), (3c) ta suy ra:$\widehat{AOO\text{'}}=\widehat{AO\text{'}O}$

Do đó, tam giác AOO’ cân tại A

$\Rightarrow OA=OA\text{'}$

$\Rightarrow R=R\text{'}$