Cho C là một điểm nằm trên cung lớn AB của đường tròn

Hướng dẫn. Xét ba trường hợp:

a) Tia OC nằm trong góc đối đỉnh của góc ở tâm AOB.

b) Tia OC trùng với tia đối của một cạnh của góc ở tâm AOB.

c) Tia OC nằm trong một góc kề bù với góc ở tâm AOB.

a)

Kẻ đường kính CD

Ta có:

Vì OD nằm giữa OA và OB nên điểm D nằm trên cung nhỏ $\stackrel{⏜}{AB}$

$\Rightarrow$sđ$\stackrel{⏜}{AD}$(nhỏ) + sđ$\stackrel{⏜}{BD}$(nhỏ) = sđ$\stackrel{⏜}{AB}$(nhỏ) (1)

Vì OA nằm giữa OC và OD nên điểm A nằm trên cung nửa đường tròn CD

$\Rightarrow$sđ$\stackrel{⏜}{AD}$(nhỏ) + sđ$\stackrel{⏜}{AC}$(nhỏ) =${180}^o$ (2)

Vì OB nằm giữa OC và OD nên điểm B nằm trên cung nửa đường tròn CD

$\Rightarrow$sđ$\stackrel{⏜}{BD}$(nhỏ) + sđ$\stackrel{⏜}{BC}$(nhỏ) = ${180}^o$(3)

Từ (2) và (3) ta suy ra:

sđ$\stackrel{⏜}{AD}$(nhỏ) + sđ$\stackrel{⏜}{AC}$(nhỏ) + sđ$\stackrel{⏜}{BD}$(nhỏ) + sđ$\stackrel{⏜}{BC}$(nhỏ) =  ${360}^o$(4)

Từ (1) và (4) ta suy ra:

sđ$\stackrel{⏜}{AC}$(nhỏ) + sđ$\stackrel{⏜}{BC}$(nhỏ)+ sđ $\stackrel{⏜}{AB}$(nhỏ) =${360}^o$

sđ$\stackrel{⏜}{AC}$(nhỏ) + sđ$\stackrel{⏜}{BC}$(nhỏ) =  ${360}^o$- sđ$\stackrel{⏜}{AB}$(nhỏ)

Mà:  ${360}^o$- sđ $\stackrel{⏜}{AB}$(nhỏ) = sđ$\stackrel{⏜}{AB}$ (lớn)

sđ$\stackrel{⏜}{AB}$ (lớn) = sđ$\stackrel{⏜}{AC}$(nhỏ) + sđ$\stackrel{⏜}{BC}$(nhỏ)

b)

Do tia OC trùng với tia đối của một cạnh của góc ở tâm AOB nên ta có:

$\widehat{AOB}+\widehat{BOC}=\widehat{AOC}={180}^o$

$\Rightarrow \widehat{AOB}+\widehat{BOC}+\widehat{AOC}={360}^o$

$\Rightarrow \widehat{BOC}+\widehat{AOC}={360}^o-\widehat{AOB}$

Mà góc AOC là góc ở tâm chắn cung AC, góc BOC là góc ở tâm chắn cung nhỏ BC và góc AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB

$\Rightarrow$sđ$\stackrel{⏜}{AC}$+ sđ$\stackrel{⏜}{BC}$(nhỏ) = - sđ$\stackrel{⏜}{AB}$(nhỏ)

Mà: ${360}^o$- sđ$\stackrel{⏜}{AB}$(nhỏ) = sđ$\stackrel{⏜}{AB}$ (lớn)

 $\Rightarrow$sđ$\stackrel{⏜}{AB}$ (lớn) = sđ$\stackrel{⏜}{AC}$+ sđ$\stackrel{⏜}{BC}$(nhỏ)

c)

Kẻ đường kính AE

Do tia OE trùng với tia đối của một cạnh của góc ở tâm AOB nên ta có:

$\widehat{AOB}+\widehat{BOE}=\widehat{AOE}={180}^o$

$\Rightarrow \widehat{AOB}+\widehat{BOE}+\widehat{AOE}={360}^o$

$\Rightarrow \widehat{BOE}+\widehat{AOE}={360}^o-\widehat{AOB}$

Mà góc AOE là góc ở tâm chắn cung AE, góc BOE là góc ở tâm chắn cung nhỏ BE và góc AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB

$\Rightarrow$sđ$\stackrel{⏜}{AE}$+ sđ$\stackrel{⏜}{BE}$(nhỏ) =  ${360}^o$- sđ$\stackrel{⏜}{AB}$(nhỏ)

Mà: ${360}^o$- sđ$\stackrel{⏜}{AB}$(nhỏ) = sđ$\stackrel{⏜}{AB}$ (lớn)

 $\Rightarrow$sđ$\stackrel{⏜}{AB}$ (lớn) = sđ$\stackrel{⏜}{AE}$+ sđ$\stackrel{⏜}{BE}$(nhỏ)

Mà $\widehat{BOE}=\widehat{BOC}+\widehat{COE}$nên ta có:

sđ$\stackrel{⏜}{BE}$(nhỏ) = sđ$\stackrel{⏜}{CE}$(nhỏ) + sđ$\stackrel{⏜}{BC}$(nhỏ)

 $\Rightarrow$sđ$\stackrel{⏜}{AB}$ (lớn) = sđ$\stackrel{⏜}{AE}$+ sđ$\stackrel{⏜}{CE}$(nhỏ) + sđ$\stackrel{⏜}{BC}$(nhỏ)

Mà $\widehat{AOE}=\widehat{AOC}+\widehat{COE}={180}^o$

$\Rightarrow \widehat{AOE}+\widehat{AOC}+\widehat{COE}={360}^o$

$\Rightarrow \widehat{AOE}+\widehat{COE}={360}^o-\widehat{AOC}$

 $\Rightarrow$sđ$\stackrel{⏜}{AE}$+ sđ$\stackrel{⏜}{CE}$(nhỏ) =  ${360}^o$- sđ$\stackrel{⏜}{AC}$(nhỏ)

Mà sđ$\stackrel{⏜}{AC}$ =  ${360}^o$- sđ$\stackrel{⏜}{AC}$(nhỏ)

 $\Rightarrow$sđ$\stackrel{⏜}{AE}$+ sđ$\stackrel{⏜}{CE}$(nhỏ) = sđ$\stackrel{⏜}{AC}$(lớn)

 $\Rightarrow$sđ$\stackrel{⏜}{AB}$ (lớn) = sđ$\stackrel{⏜}{AC}$(lớn) + sđ$\stackrel{⏜}{BC}$(nhỏ)