Cho đường tròn (C) có phương trình

Giải Toán 10 Bài 2: Phương trình đường tròn

Bài 6 trang 84 Toán lớp 10 Hình học:

x² + y² – 4x + 8y – 5 = 0.

a) Tìm toạ độ tâm và bán kính của (C);

b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A(–1;0);

c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng 3x – 4y + 5 = 0.

Lời giải:

a) Ta có: a = 2, b = −4, c = −5

Đường tròn có tâm I(2; −4), bán kính $R=\sqrt{2^2+{\left(-4\right)}^2-\left(-5\right)}=5$

b) Thay tọa độ A(−1; 0) vào vế trái, ta có :

(−1 − 2)² + (0 + 4)² = 3² + 4² = 25

Vậy A(−1; 0) là điểm thuộc đường tròn.

Tiếp tuyến với (C) tại A nhận $\overrightarrow{IA}=\left(-3;4\right)$ làm VTPT.

Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại A là:

−3(x + 1) + 4(y − 0) = 0 hay 3x − 4y + 3 = 0.

c) Đường thẳng 3x – 4y + 5 = 0 có VTPT $\overrightarrow{n}=\left(3;-4\right)\Rightarrow \overrightarrow{u_d}=\left(4;3\right)$ là VTCP của d.

Tiếp tuyến d′ vuông góc với đường thẳng 3x – 4y + 5 = 0 nên VTPT $\overrightarrow{n\text{'}}=\overrightarrow{u_d}=\left(4;3\right)$

Phương trình d′ có dạng là: 4x + 3y + c = 0.

d′ tiếp xúc (C)

$\iff d\left(I;d\text{'}\right)=R=\frac{\left.4.2+3\left(-4\right)c\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=5\iff \left.c-4\right|=25$

$\iff \begin{array}{l}c-4=25\\ c-4=-25\end{array}\iff \begin{array}{l}c=29\\ c=-21\end{array}$

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

4x + 3y + 29 = 0 và 4x + 3y – 21 = 0.