Bài 5 trang 56 Toán 11 Tập 2 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

Bài 5 trang 56 Toán 11 Tập 2:Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết AB = CD = 2a và MN =$\mathrm{a}\sqrt{3}$. Tính góc giữa AB và CD.

Lời giải:

Gọi O là trung điểm của AC.

Ta có M là trung điểm của BC.

⇒$$OM là đường trung bình tam giác ABC

⇒$$OM // AB; OM =$\frac{1}{2}$AB = a

Tương tự ON là đường trung bình tam giác ACD.

⇒$$ON // CD; ON =$\frac{1}{2}$CD = a

⇒$$(AB, CD) = (OM, ON)

Trong tam giác MON:

OM = ON = a; MN =$a\sqrt{3}$

$\cos \widehat{\mathrm{MON}}=\frac{{\mathrm{OM}}^2+{\mathrm{ON}}^2-{\mathrm{MN}}^2}{2.\mathrm{OM}.\mathrm{ON}}=\frac{a^2+a^2-{\left(a\sqrt{3}\right)}^2}{2.a.a}=\frac{-1}{2}$

⇒$\widehat{\mathrm{MON}}=120°$.

Vậy$(\mathrm{AB},\mathrm{CD})=180°-\widehat{\mathrm{MON}}=60°$.