Bài 2 trang 56 Toán 11 Tập 2 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

Bài 2 trang 56 Toán 11 Tập 2:Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng AB ⊥ CD.

Lời giải:

Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện đều ABCD.

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC và AD.

Xét tam giác ABC:

M là trung điểm của AC.

N là trung điểm của BC.

Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

⇒ MN // AB; MN =$\frac{1}{2}$AB =$\frac{a}{2}$(1)

Tương tự: MP là đường trung bình tam giác ACD:

⇒ MP // CD; MP =$\frac{1}{2}$CD =$\frac{a}{2}$(2)

Từ (1) và (2) ⇒ MN = MP =$\frac{a}{2}$

Tam giác ABD đều có BP là trung tuyến nên BP =$\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giác ACD đều có CP là trung tuyến nên CP =$\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác BCP có: BP = CP =$\frac{a\sqrt{3}}{2}$

⇒ Tam giác BCP cân tại P.

Mà N là trung điểm của BC ⇒ PN là đường trung tuyến nên PN ⊥ CN

PN =$\sqrt{{\mathrm{CP}}^2-{\mathrm{CN}}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác MNP:

MP²+ MN²=${\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{2a^2}{4}$; PN²=${\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{2a^2}{4}$

⇒ MP²+ MN²= PN²

⇒ Tam giác MNP vuông tại M.

Ta có: (AB, CD) = (MN, MP) =$\widehat{\mathrm{NMP}}=90°$.

Vậy AB ⊥CD.