Xét tam giác ABC vuông tại A có góc B = alpha. Chứng minh rằng

Giải Toán 9 Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Video Giải Câu hỏi 1 trang 71 Toán lớp 9 Tập 1

Câu hỏi 1 trang 71 Toán lớp 9 Tập 1:

a) $\alpha ={45}^o\iff \frac{AC}{AB}=1$;

b) $\alpha ={60}^o\iff \frac{AC}{AB}=\sqrt{3}$.

Lời giải:

a)

 

Xét tam giác ABC vuông tại A có:

$\widehat{BAC}={90}^o\widehat{ABC}={45}^o\Rightarrow \widehat{BCA}={45}^o$

Do đó tam giác ABC vuông cân tại A (do có hai góc ở đáy bằng nhau)

$\Rightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ (hai cạnh bên của tam giác vuông cân ABC)

$\Rightarrow \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=1$ (đcpcm)

b) 

Xét tam giác vuông ABC

Gọi điểm D là trung điểm của BC, kẻ trung tuyến AD của tam giác vuông ABC

$\Rightarrow \mathrm{AD}=\mathrm{BD}=\frac{\mathrm{BC}}{2}$ (1)

Xét tam giác ABD có:

AD = BD

$\widehat{\mathrm{ABD}}=\mathrm{\alpha }={60}^{\mathrm{o}}$

Do đó tam giác ABD là tam giác đều $\Rightarrow AB=AD$ (2)Từ (1) và (2) ta có:

 $AB=AD=BD=\frac{BC}{2}\Rightarrow BC=2AB$

Xét tam giác ABC vuông tại A

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2={\mathrm{BC}}^2\iff {\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2={\left(2\mathrm{AB}\right)}^2\iff {\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2=4{\mathrm{AB}}^2\iff {\mathrm{AC}}^2=3{\mathrm{AB}}^2\iff \mathrm{AC}=\sqrt{3}\mathrm{AB}$

$\iff \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\sqrt{3}$ (đpcm)