Từ định nghĩa của sin anpha và cos anpha hãy chứng minh hằng đẳng thức đầu tiên

Giải Toán 10 Bài 2: Giá trị lượng giác của một cung

Hoạt động 5 trang 145 Toán lớp 10 Đại số:

Lời giải:

Các hằng đẳng thức:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

$1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha },\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha },\alpha \ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\tan \alpha .\cot \alpha =1,\alpha \ne \frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$

+) Ta có:

$\sin \alpha =\overline{OK},\cos \alpha =\overline{OH}$

Do tam giác OMK vuông tại K nên:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =O{K}^2+O{H}^2$

= OK² + MK² = OM²

= 1.

Vậy ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

+)

$1+{\tan }^2\alpha =1+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$

+)

$1+{\cot }^2\alpha =1+\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$

+)

$\tan \alpha \cdot \cot \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\cdot \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=1$