Trên đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M (khác A và B)

Giải Toán 9 Luyện tập trang 75, 76

Bài tập 22 trang 76 SGK Toán lớp 9 tập 2: Trên đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M (khác A và B). Vẽ tiếp tuyến của (O) tại A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C. Chứng minh rằng ta luôn có: ${\mathrm{MA}}^2=\mathrm{MB}.\mathrm{MC}$.

Lời giải

Xét đường tròn (O)

Góc AMB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $\Rightarrow \widehat{\mathrm{AMB}}={90}^{\mathrm{o}}$

CA là tiếp tuyến của (O) tại A (gt)

Xét tam giác AMB vuông tại M có:

$\widehat{\mathrm{MAB}}+\widehat{\mathrm{MBA}}={90}^{\mathrm{o}}$  (2)

Xét tam giác CAB vuông tại A có:

$\widehat{\mathrm{MCA}}+\widehat{\mathrm{MBA}}={90}^{\mathrm{o}}$ (3)

Từ (1) và (2) ta suy ra $\widehat{\mathrm{MBA}}=\widehat{\mathrm{MAC}}$ (cùng phụ $\widehat{\mathrm{MAB}}$)

Từ (2) và (3) ta suy ra $\widehat{\mathrm{MAB}}=\widehat{\mathrm{MCA}}$ (cùng phụ $\widehat{\mathrm{MBA}}$)

Xét tam giác MAB và tam giác MCA có:

$\widehat{\mathrm{MBA}}=\widehat{\mathrm{MAC}}$ (chứng minh trên)

$\widehat{\mathrm{MAB}}=\widehat{\mathrm{MCA}}$ (chứng minh trên)

Do đó, tam giác MAB đồng dạng với tam giác MCA (góc – góc) $\Rightarrow \frac{\mathrm{MA}}{\mathrm{MB}}=\frac{\mathrm{MC}}{\mathrm{MA}}$

$\Rightarrow {\mathrm{MA}}^2=\mathrm{MB}.\mathrm{MC}$ (đcpcm).