Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn

Giải Toán 9 Luyện tập trang 75, 76

Bài tập 23 trang 76 SGK Toán lớp 9 tập 2: Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M kẻ hai đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B. Đường thẳng thứ hai cắt (O) tại C và D. Chứng minh: MA.MB = MC.MD.

Hướng dẫn. Xét cả hai trường hợp điểm M nằm bên trong và bên ngoài đường tròn. Trong mỗi trường hợp, xét hai tam giác đồng dạng.

Lời giải:

TH1: Điểm M nằm bên trong đường tròn

Xét đường tròn (O)

Góc AB’M là góc nội tiếp chắn cung nhỏ AA’

Góc A’BM là góc nội tiếp chắn cung nhỏ AA’ $\Rightarrow \widehat{\mathrm{AB}\text{'}\mathrm{M}}=\widehat{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{BM}}$

Xét tam giác MAB’ và tam giác MA’B có:

$\widehat{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{MB}}=\widehat{\mathrm{AMB}\text{'}}$ (hai góc đối đỉnh)

$\widehat{\mathrm{AB}\text{'}\mathrm{M}}=\widehat{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{BM}}$ (chứng minh trên)

Do đó, tam giác MAB’ đồng dạng với tam giác MA’B (góc – góc)

$\Rightarrow \frac{\mathrm{MA}}{\mathrm{MA}\text{'}}=\frac{\mathrm{MB}\text{'}}{\mathrm{MB}}$

$\Rightarrow \mathrm{MA}.\mathrm{MB}=\mathrm{MB}\text{'}.\mathrm{MA}\text{'}$ (đcpcm)

TH2: Điểm M nằm bên ngoài đường tròn

Góc AB’M là góc nội tiếp chắn cung nhỏ AA’

Góc A’BM là góc nội tiếp chắn cung nhỏ AA’

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{AB}\text{'}\mathrm{M}}=\widehat{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{BM}}$

Xét tam giác MAB’ và tam giác MA’B có:

$\widehat{\mathrm{AB}\text{'}\mathrm{M}}=\widehat{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{BM}}$ (chứng minh trên)

 chung

Do đó, tam giác MAB’ đồng dạng với tam giác MA’B (góc – góc)