Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài

Giải Toán 9 Luyện tập trang 75, 76

Bài tập 19 trang 75 SGK Toán lớp 9 tập 2: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N. Gọi H là giao điểm của BM và AN. Chứng minh rằng SH vuông góc với AB.

Lời giải:

Trong đường tròn (O), $\widehat{\mathrm{AMB}}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) nên ta có:

$\widehat{\mathrm{AMB}}={90}^{\mathrm{o}}$

$\Rightarrow \mathrm{BM}\perp \mathrm{AM}$ tại M

$\Rightarrow \mathrm{BM}\perp \mathrm{SA}$ tại M

Trong đường tròn (O), $\widehat{\mathrm{ANB}}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) nên ta có: $\widehat{\mathrm{ANB}}={90}^{\mathrm{o}}$

$\Rightarrow \mathrm{AN}\perp \mathrm{BN}$ tại N

$\Rightarrow \mathrm{AN}\perp \mathrm{SB}$ tại N

Xét tam giác SAB có:

$\mathrm{BM}\perp \mathrm{SA}$ tại M

$\mathrm{HA}\perp \mathrm{BN}$ tại N

Do đó, BM và AN là hai đường cao của tam giác SAB

Mà BM cắt AN tại H

Do đó, H là trực tâm của tam giác SAB

$\Rightarrow \mathrm{SH}\perp \mathrm{AB}$ (đcpcm).