Trên đường tâm O có một cung AB và S là điểm chính

Giải SBT Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

Bài 39 trang 106 SBT Toán 9 Tập 2:Trên đường tâm O có một cung AB và S là điểm chính giữa của cung đó. Trên dây AB lấy hai điểm E và H. Các đường thẳng SH và SE cắt đường tròn theo thứ tự tại C và D. Chứng minh EHCD là một tứ giác nội tiếp.

Lời giải:

S là điểm chính giữa của cung nhỏ AB (gt)

 $\Rightarrow \stackrel{⏜}{SA}=\stackrel{⏜}{SB}$(1)

Ta lại có:

(góc có đỉnh ở bên trong đường tròn) (2)

$\widehat{DCS}=\frac{1}{2}$sđ$\stackrel{⏜}{DAS}=\frac{1}{2}\left(sđ\stackrel{⏜}{\text{D}A}+sđ\stackrel{⏜}{SA}\right)$(góc nội tiếp chắn cung) (3)

Từ (2) và (3) ta suy ra:  $\widehat{DEB}+\widehat{DCS}=\frac{1}{2}\left(sđ\stackrel{⏜}{\text{D}CB}+sđ\stackrel{⏜}{AS}+sđ\stackrel{⏜}{\text{D}A}+sđ\stackrel{⏜}{SA}\right)$(4)

Từ (1) và (4) ta suy ra:

$\widehat{DEB}+\widehat{DCS}=\frac{1}{2}\left(sđ\stackrel{⏜}{\text{D}CB}+sđ\stackrel{⏜}{BS}+sđ\stackrel{⏜}{\text{D}A}+sđ\stackrel{⏜}{SA}\right)=\frac{{360}^o}{2}={180}^o$

Hay $\widehat{DEH}+\widehat{DCH}={180}^o$

Vậy tứ giác EHCD là tứ giác nội tiếp.