Cho đường tròn tâm O bán kính R và hai dây AB

Giải SBT Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

Bài 7.2 trang 107 SBT Toán 9 Tập 2:Cho đường tròn tâm O bán kính R và hai dây AB, CD bất kì. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Gọi E và F tương ứng là giao điểm của MC, MD với dây AB. Gọi I và J tương ứng là giao điểm của DE, CF với đường tròn (O). Chứng minh IJ song song với AB.

Lời giải:

Xét đường tròn (O)

Có M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB

$\Rightarrow \stackrel{⏜}{MA}=\stackrel{⏜}{MB}$

Lại có:  $\widehat{AEC}=\frac{1}{2}\left(sđ\stackrel{⏜}{AC}+sđ\stackrel{⏜}{MB}\right)$(góc có đỉnh ở trong đường tròn)

$\widehat{CDM}=\frac{1}{2}$sđ $\stackrel{⏜}{MAC}$(tính chất góc nội tiếp)

 $\Rightarrow \widehat{CDF}=\frac{1}{2}\left(sđ\stackrel{⏜}{MA}+sđ\stackrel{⏜}{AC}\right)=\frac{1}{2}\left(sđ\stackrel{⏜}{AC}+sđ\stackrel{⏜}{MB}\right)$

$\Rightarrow \widehat{AEC}=\widehat{CDF}$

Ta có:  $\widehat{AEC}+\widehat{CEF}={180}^o$(hai góc kề bù)

 $\Rightarrow \widehat{CDF}+\widehat{CEF}={180}^o$

Nên tứ giác CDFE nội tiếp

 $\Rightarrow \widehat{CDE}=\widehat{CFE}$(hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ $\stackrel{⏜}{CE}$)

Xét đường tròn (O) có:

$\Rightarrow \widehat{CDI}=\widehat{CFE}$(hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ CAI)

$\Rightarrow \widehat{CJI}=\widehat{CFE}$

Do đó, IJ // AB (vì có cặp góc ở vị trí trị đồng vị bằng nhau).