Cho đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Biết

Giải SBT Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

Bài 43 trang 107 SBT Toán 9 Tập 2:Cho đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Biết AE.EC = BE.ED. Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.

Lời giải:

Từ AE.EC = BE.ED(gt)

$\Rightarrow \frac{AE}{ED}=\frac{BE}{EC}$

Xét tam giác AEB và tam giác DEC có:

 $\widehat{AEB}=\widehat{DEC}$ (hai góc đối đỉnh)

$\frac{AE}{ED}=\frac{BE}{EC}$

Do đó, tam giác AEB và tam giác DECđồng dạng (cạnh – góc – cạnh)

$\Rightarrow \widehat{BAE}=\widehat{CDE}\Rightarrow \widehat{BAC}=\widehat{CDB}$

Do đó, A và D nhìn đoạn BC cố định dưới một góc bằng nhau nên A, B, C, D nằm trên một đường tròn.