Cho ba đường tròn cùng đi qua một điểm P. Gọi các giao

Giải SBT Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

Bài 42 trang 107 SBT Toán 9 Tập 2:Cho ba đường tròn cùng đi qua một điểm P. Gọi các giao điểm khác P của hai trong ba đường tròn đó là A, B, C. Từ một điểm D (khác điểm P) trên đường tròn (PBC) kẻ các tia DB, DC cắt các đường tròn (PAB), (PAC) lần lượt tại M, N. Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng.

Lời giải:

Gọi ba đường tròn tâm O₁, O₂, O₃

(O₁) cắt (O₂) tại A; (O₁) cắt (O₃) tại B

(O₂) cắt (O₃) tại C

Do đó, D là điểm nằm trên đường tròn (O₃)

BD cắt (O₁) tại M, DC cắt (O₂) tại N

Nối PA, PB, PC, MA, NA

Ta có, tứ giác APBM nội tiếp đường tròn (O₁)

Nên  $\widehat{MAP}+\widehat{MBP}={180}^o$(tính chất tứ giác nội tiếp)

Mà  $\widehat{MBP}+\widehat{PBD}={180}^o$ (hai góc kề bù)

 $\Rightarrow \widehat{MAP}=\widehat{PBD}$ (1)

Ta có, tứ giác APCN nội tiếp đường tròn (O₂)

Nên $\widehat{NAP}+\widehat{NCP}={180}^o$(tính chất tứ giác nội tiếp)

Mà $\widehat{NCP}+\widehat{PCD}={180}^o$(hai góc kề bù)

 $\Rightarrow \widehat{NAP}=\widehat{PCD}$(2)

Ta có, tứ giác BPCD nội tiếp đường tròn(O₃)

Nên  $\widehat{PBD}+\widehat{PCD}={180}^o$(tính chất tứ giác nội tiếp) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: $\widehat{MAP}+\widehat{NAP}={180}^o$

Vậy ba điểm M, A, N thẳng hàng.