Cho tam giác cân ABC có đáy BC và góc A là 20 độ

Giải SBT Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

Bài 41 trang 106 SBT Toán 9 Tập 2:Cho tam giác cân ABC có đáy BC và góc $\widehat{A}={20}^o$. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C lấy điểm D sao cho DA = DB và $\widehat{DAB}={40}^o$. Gọi E là giao điểm của AB và CD.

a) Chứng minh ACBD là một tứ giác nội tiếp.

b) Tính $\widehat{AED}$.

Lời giải:

a)

Tam giác ABC cân tại A (gt)

$\Rightarrow \widehat{ACB}=\widehat{ABC}$

$\Rightarrow \widehat{ACB}=\frac{{180}^o-\widehat{A}}{2}=\frac{{180}^o-{20}^o}{2}={80}^o$

Tam giác DAB cân tại A (do DA = DB – gt)

$\Rightarrow \widehat{DBA}=\widehat{DAB}={40}^o$

$\Rightarrow \widehat{ADB}=180-\left(\widehat{DAB}+\widehat{DBA}\right)={180}^o-\left({40}^o+{40}^o\right)={100}^o$

Xét tứ giác ACBD có: $\widehat{ACB}+\widehat{ADB}={80}^o+{100}^o={180}^o$

Do đó, tứ giác ACBD nội tiếp.

b)

Vì tứ giác ACBD nội tiếp (chứng minh câu a) nên xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác ACBD có:

$\widehat{BAC}=\frac{1}{2}$sđ$\stackrel{⏜}{BC}$(tính chất góc nội tiếp)

$\Rightarrow$sđ$\stackrel{⏜}{BC}=2\widehat{BAC}={2.20}^o={40}^o$

$\widehat{DBA}=\frac{1}{2}$sđ$\stackrel{⏜}{AD}$(tính chất góc nội tiếp)

sđ$\stackrel{⏜}{AD}=2\widehat{DBA}={2.40}^o={80}^o$

Góc AED là góc có đỉnh ở trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác ACBD

$\Rightarrow \widehat{AED}=\frac{1}{2}\left(sđ\stackrel{⏜}{BC}+sđ\stackrel{⏜}{AD}\right)=\frac{{40}^o+{80}^o}{2}={60}^o$.

*Phương pháp giải:

a)Chứng minh bằng cách sử dụng định líTrong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180°.

b)Sử dụng tính chất góc ỏ đỉnh trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác

*Lý thuyết:

1.1. Đường tròn đi qua bốn đỉnh của một tứ giác

Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi làtứ giác nội tiếpđường tròn (hoặc đơn giản là tứ giác nội tiếp) và đường tròn được gọi làđường tròn ngoại tiếp tứ giác.

Cụ thể, ở hình vẽ trên, tứ giác ABCD được gọi là nội tiếp đường tròn (O) và ta cũng nói đường tròn (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD.

Ví dụ 1.Trong các hình sau, hình nào biểu diễn tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O)?

Hướng dẫn giải

– Ở Hình a), ta có tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) vì cả bốn đỉnh A, B, C, D đều nằm trên đường tròn (O).

– Ở Hình b), ta có tứ giác ABCD không nội tiếp đường tròn (O) vì đỉnh C không nằm trên đường tròn (O).

1.2. Định lí về tổng số đo các góc đối nhau của một tứ giác nội tiếp

Định lí:Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180°.