Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ các đường cao AI

Giải SBT Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

Bài 7.1 trang 107 SBT Toán 9 Tập 2:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ các đường cao AI, BK, CL của tam giác ấy. Gọi H là giao điểm của các đường cao vừa vẽ.

a) Chỉ ra các tứ giác nội tiếp có đỉnh lấy trong số các điểm A, B, C, H, I, K, L.

b) Chứng minh $\widehat{LBH},\widehat{LIH},\widehat{KIH}$và $\widehat{KCH}$là 4 góc bằng nhau.

c) Chứng minh KB là tia phân giác của $\widehat{LKI}$.

Lời giải:

Vì tam giác ABC là tam giác nhọn nên ba đường cao cắt nhau tại điểm H nằm trong tam giác ABC

a)

Tứ giác AKHL có: $\widehat{AKH}+\widehat{ALH}={90}^o+{90}^o={180}^o$

Do đó, tứ giác AKHL là tứ giác nội tiếp.

Tứ giác BIHL có: $\widehat{BIH}+\widehat{BLH}={90}^o+{90}^o={180}^o$

Do đó, tứ giác BIHL là tứ giác nội tiếp.

Tứ giác CIHK có:$\widehat{CIH}+\widehat{CKH}={90}^o+{90}^o={180}^o$

Do đó, tứ giác CIHK là tứ giác nội tiếp.

Tứ giác ABIK có: $\widehat{AKB}=\widehat{AIB}={90}^o$

K và I nhìn đoạn AB dưới một góc vuông nên tứ giác ABIK nội tiếp

Tứ giác BCKL có: $\widehat{BKC}=\widehat{BLC}={90}^o$

K và L nhìn đoạn BC dưới một góc vuông nên tứ giác BCKL nội tiếp

Tứ giác ACIL có: $\widehat{AIC}=\widehat{ALC}={90}^o$

I và L nhìn đoạn AC dưới một góc vuông nên tứ giác ACIL nội tiếp.

b)

Tứ giác BIHL nội tiếp

 $\Rightarrow \widehat{LBH}=\widehat{LIH}$(hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ $\stackrel{⏜}{LH}$) (1)

Tứ giác CIHK nội tiếp

 $\Rightarrow \widehat{HIK}=\widehat{HCK}$(hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ $\stackrel{⏜}{HK}$) (2)

Tứ giác BCKL nội tiếp

 $\Rightarrow \widehat{LBK}=\widehat{LCK}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ $\stackrel{⏜}{LK}$) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: $\widehat{LBH}=\widehat{LIH}=\widehat{KIH}=\widehat{KCH}$.

c)

Tứ giác CIHK nội tiếp

 $\Rightarrow \widehat{ICH}=\widehat{IKH}$hay$\widehat{LCB}=\widehat{IKH}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ $\stackrel{⏜}{IH}$) (*)

Tứ giác LKCB nội tiếp

 $\Rightarrow \widehat{LCB}=\widehat{LKB}$(hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ $\stackrel{⏜}{LB}$) (**)

Từ (*) và (**) ta suy ra: $\widehat{LKH}=\widehat{HKI}$

Do đó, KB là tia phân giác của góc LKI.