Trên dây cung AB của một đường tròn O, lấy hai điểm C và D chia dây này

a) $\stackrel{⏜}{AE}=\stackrel{⏜}{FB}$;

b) $\stackrel{⏜}{AE}<\stackrel{⏜}{EF}$.

a)

Xét tam giác OAB có:

OA = OB (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

Do đó, tam giác OAB cân tại O

$\Rightarrow \widehat{OAB}=\widehat{OBA}$

Xét tam giác OAC và tam giác OBD có:

OA = OB (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

 $\widehat{OAB}=\widehat{OBA}$ (cmt)

AC = BD (gt)

Do đó, tam giác OACbằng tam giác OBD (cạnh – góc – cạnh)

 $\Rightarrow \widehat{O_1}=\widehat{O_2}$ (1)

Mặt khác, ta có:

Góc là góc ở tâm chắn cung nhỏ AE$\Rightarrow$ sđ$\stackrel{⏜}{AE}=\widehat{O_1}$(2)

Góc là góc ở tâm chắn cung nhỏ BF$\Rightarrow$ sđ$\stackrel{⏜}{BF}=\widehat{O_2}$(3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra: $sđ\stackrel{⏜}{AE}=sđ\stackrel{⏜}{BF}$nên $\stackrel{⏜}{AE}=\stackrel{⏜}{BF}$.

b)

Tam giác OAC bằng tam giác OBD (chứng minh phần a)

⇒ OC = OD

Do đó, tam giác OCD cân tại O

 $\Rightarrow \widehat{OCD}=\widehat{ODC}<{90}^o$

Mà $\widehat{ODC}+\widehat{CDF}={180}^o$(hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat{CDF}>{90}^o$

Xét tam giác CDF có:

$\widehat{CDF}>{90}^o$

⇒ CF > CD

Mà CD = AC

Nên CF > AC

Xét tam giác OAC và tam giác OCF có:

OA = OF (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

OC là cạnh chung

AC < CF (chứng minh trên)

$\Rightarrow \widehat{O_1}<\widehat{O_3}$(hai tam giác có 2 cạnh bằng nhau từng đôi một, cạnh thứ ba không bằng nhau thì đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn)

Mà:

Góc $O_1$là góc ở tâm chắn cung nhỏ AE $\Rightarrow$sđ$\stackrel{⏜}{AE}=\widehat{O_1}$

Góc $O_3$là góc ở tâm chắn cung nhỏ EF $\Rightarrow$sđ$\stackrel{⏜}{EF}=\widehat{O_3}$

Do đó: $sđ\stackrel{⏜}{AE}<sđ\stackrel{⏜}{EF}$$\Rightarrow \stackrel{⏜}{AE}<\stackrel{⏜}{EF}$.