Cho hình thoi ABCD. Vẽ đường tròn tâm A, bán kính AD. Vẽ đường tròn tâm C

Ta có (A; AD) và (C; CB) có bán kính AD = CB là cạnh của hình thoi ABCD nên hai đường tròn đó bằng nhau.

Ta có: AD = AB = CD = CB

Do đó, (A; AD) và (C; CB) cắt nhau tại B và D

Mặt khác: DE // BF (gt)

 $\Rightarrow \widehat{EDB}=\widehat{FBD}$ (so le trong)

 $\Rightarrow \widehat{EDA}+\widehat{ADB}=\widehat{FBC}+\widehat{CBD}$(1)

Do ABCD là hình thoi nên ta có:

$\widehat{ADC}=\widehat{ABC}$

DB là phân giác của $\widehat{ADC}$và$\widehat{ABC}$

 $\Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{CBD}$(2)

Từ (1) và (2)  $\Rightarrow \widehat{EDA}=\widehat{FBC}$(3)

Xét tam giác ADE có:

AD = AE (cùng bằng bán kính đường tròn (A))

Do đó, tam giác ADE cân tại A

 $\Rightarrow \widehat{EAD}={180}^o-2\widehat{EDA}$(4)

Xét tam giác CBF có:

CB = CF (cùng bằng bán kính đường tròn (C))

Do đó, tam giác CBF cân tại C

 $\Rightarrow \widehat{BCF}={180}^o-\widehat{FBC}$(5)

Từ (3), (4) và (5) ta suy ra: $\widehat{EAD}=\widehat{BCF}$

Mà ta có:

sđ$\stackrel{⏜}{DE}=\stackrel{⏜}{EAD}$(góc ở tâm chắn cung)

sđ$\stackrel{⏜}{BF}=\widehat{BCF}$(góc ở tâm chắn cung)

Và (A; AD) và (C; CB) bằng nhau

$\Rightarrow \stackrel{⏜}{DE}=\stackrel{⏜}{BF}$