Tìm giá trị của m để phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt

Phương trình:

$\left.x^2-2mx-4\left(m^2+1\right)\right]\left.x^2-4x-2m\left(m^2+1\right)\right]=0$

$\iff \begin{array}{l}{x}^2-2mx-4\left(m^2+1\right)=0\text{ (1)}\\ x^2-4x-2m\left(m^2+1\right)=0\text{ (2)}\end{array}$

Ta xét phương trình (1):$x^2-2mx-4\left(m^2+1\right)=0$

${\Delta }_1\text{'}={\left(-m\right)}^2-1.\left.-4\left(m^2+1\right)\right]=m^2+4\left(m^2+1\right)>0$ với mọi m

Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt:

Ta xét phương trình (2):$x^2-4x-2m\left(m^2+1\right)=0$

${\Delta }_2\text{'}={\left(-2\right)}^2-1\left.-2m\left(m^2+1\right)\right]$

$=4+2m\left(m^2+1\right)=2m^3+2m+4$

Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi ${\Delta }_2\text{'}\ge 0$

$\Rightarrow 2m^3+2m+4\ge 0$

Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi${\Delta }_2\text{'}\ge 0$

$\Rightarrow 2m^3+2m+4\ge 0$

$\iff m^3+m+2\ge 0$

$\iff m^3+m^2-m^2-m+2m+2\ge 0$

$\iff m^2\left(m+1\right)-m\left(m+1\right)+2\left(m+1\right)\ge 0$

$\iff \left(m+1\right)\left(m^2-m+2\right)\ge 0$

Vì $m^2-m+2=m^2-2.\frac{1}{2}m+\frac{1}{4}+\frac{7}{4}={\left(m-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{7}{4}>0$

$\Rightarrow m+1\ge 0\iff m\ge -1$

Vậy với m $\ge -1$ thì phương trình (2) có nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi sảy ra một trong 2 trường hợp sau:

Trường hợp 1: Phương trình (2) có 1 nghiệm kép khác với nghiệm của phương trình (1)

Ta có: ${\Delta }_2\text{'}=0\Rightarrow m=-1$vahay nghiệm của phương trình (2) là nghiệm kép x = 2

Thay x = 2 vào phương trình (1) ta có: 4 – 4m – 4(m² + 1) $\ne 0$

$\iff 4-4m-4m^2-4\ne 0$

$\iff -4m^2-4m\ne 0$

$\iff -4m\left(m+1\right)\ne 0$vô lí vì m = –1.

Trường hợp 2: Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$trong đó có 1 nghiệm trùng với nghiệm của phương trình (1)

Giải sử $x_1$là nghiệm của cả hai phương trình (1) và (2)

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt $\iff {\Delta }_2\text{'}>0\iff m>-1$ và:

$\begin{array}{l}{x_1}^2-2m{x}_1-4\left(m^2+1\right)=0\\ {x_1}^2-4x_1-2m\left(m^2+1\right)=0\end{array}$

$\Rightarrow \left(4-2m\right)x_1+2m\left(m^2+1\right)-4\left(m^2+1\right)=0$

$\iff \left(4-2m\right)x_1+2m^3+2m-4m^2-4=0$

$\iff \left(4-2m\right)x_1+2\left(m^3-2m^2+m-2\right)=0$

$\iff \left(4-2m\right)x_1+2\left.m^2\left(m-2\right)+\left(m-2\right)\right]=0$

$\iff \left(4-2m\right)x_1+2\left(m-2\right)\left(m^2+1\right)=0$

$\iff 2\left(2-m\right)x_1+2\left(m-2\right)\left(m^2+1\right)=0$

$\iff x_1=m^2+1$

Vì $x_1$cũng là nghiệm của phương trình (1)nên thay $x_1=m^2+1$ vào phương trình (1) ta có:

${\left(m^2+1\right)}^2-2m\left(m^2+1\right)-4\left(m^2+1\right)=0$

$\iff \left(m^2+1\right)\left.m^2+1-2m-4\right]=0$

($m^2+1>0$)

$\iff m^2+1-2m-4=0$

$\iff m^2-2m-3=0$

$\iff m^2-3m+m-3=0$

$\iff m\left(m-3\right)+\left(m-3\right)=0$

$\iff \left(m-3\right)\left(m+1\right)=0$

$\iff \begin{array}{l}m=3\\ m=-1\end{array}$

Ta chỉ nhận m = 2 vì điều kiện m > –1

Thay m = 3 vào phương trình ta có:

(1): $x^2-6x-40=0$

(2): $x^2-4x-60=0$

Giải phương trình (1) $x^2-6x-40=0$

$\Delta \text{'}={\left(-3\right)}^2-1.\left(40\right)=9+40=49>0$

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{3+\sqrt{49}}{1}=10;$

$x_2=\frac{3-\sqrt{49}}{1}=-4$

Giải phương trìn (2) : $x^2-4x-60=0$

$\Delta \text{'}={\left(-2\right)}^2-1.\left(-60\right)=64>0$

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{2+\sqrt{64}}{1}=10;$

$x_2=\frac{2-\sqrt{64}}{1}=-6$

Vậy phương trình đã cho có đúng ba nghiệm phân biệt khi m = 3.