Giải các phương trình Câu hỏi 46 trang 59 SBT Toán 9 Tập 2

a) $\frac{12}{x-1}-\frac{8}{x+1}=1$

b) $\frac{16}{x-3}+\frac{30}{1-x}=3$

c) $\frac{x^2-3x+5}{\left(x-3\right)\left(x+2\right)}=\frac{1}{x-3}$

d) $\frac{2x}{x-2}-\frac{x}{x+4}=\frac{8x+8}{\left(x-2\right)\left(x+4\right)}$

e) $\frac{x^3+7x^2+6x-30}{x^3-1}=\frac{x^2-x+16}{x^2+x+1}$

f) $\frac{x^2+9x-1}{x^4-1}=\frac{17}{x^3+x^2+x+1}$

a) Điều kiện $x\ne \pm 1$

Ta có:

$\frac{12}{x-1}-\frac{8}{x+1}=1$

$\iff \frac{12\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\frac{8\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$

$\iff$12(x + 1) – 8(x – 1) = (x + 1)(x – 1) (*)

⇔ 12x + 12 – 8x + 8 = x² – 1

⇔ x² – 4x – 21 = 0

Δ’ = (–2)² –1.(–21) = 4 + 21b = 25 > 0

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

$x_1=\frac{2+\sqrt{25}}{1}=7;x_2=\frac{2-\sqrt{25}}{1}=-3$

Cả hai giá trị x đều thỏa mãn

Vậy tập nghiệm của phương trình ban đầu là S = {–3; 7}

b) Điều kiện $x\ne 3;x\ne 1$

Ta có: $\frac{16}{x-3}+\frac{30}{1-x}=3$

$\iff \frac{16\left(1-x\right)}{\left(x-3\right)\left(1-x\right)}+\frac{30\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(1-x\right)}=\frac{3\left(x-3\right)\left(1-x\right)}{\left(x-3\right)\left(1-x\right)}$

$\Rightarrow 16\left(1-x\right)+30\left(x-3\right)=3\left(x-3\right)\left(1-x\right)$(*)

$\iff 16-16x+30x-90=3x-3x^2-9+9x$

$\iff 3x^2+2x-65=0$

$\Delta \text{'}=1^2-3.\left(-65\right)=1+195=196>0$

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

$x_1=\frac{-1+\sqrt{196}}{6}=\frac{13}{3};x_2=\frac{-1-\sqrt{196}}{6}=-5$

Cả hai giá trị x đều thỏa mãn

Vậy tập nghiệm của phương trình ban đầu là: S = $\left.\frac{13}{3};-5\right\}$

c) Điều kiện $x\ne 3;x\ne -2$

Ta có: $\frac{x^2-3x+5}{\left(x-3\right)\left(x+2\right)}=\frac{1}{x-3}$

$\iff \frac{x^2-3x+5}{\left(x-3\right)\left(x+2\right)}=\frac{1.\left(x+2\right)}{\left(x-3\right)\left(x+2\right)}$

$\Rightarrow x^2-3x+5=x+2$

$\iff x^2-4x+3=0$(*)

Có a = 1; b = –4; c = 3

Ta có a + b + c = 0nên phương trình có nghiệm

$x_1=1$(thỏa mãn);

$x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$(loại)

Vậy tập nghiệm của phương trình ban đầu là S = {1}

d) Điều kiện: $x\ne 2;x\ne -4$

Ta có: $\frac{2x}{x-2}-\frac{x}{x+4}=\frac{8x+8}{\left(x-2\right)\left(x+4\right)}$

$\iff \frac{2x\left(x+4\right)}{\left(x-2\right)\left(x+4\right)}-\frac{x\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+4\right)}=\frac{8x+8}{\left(x-2\right)\left(x+4\right)}$

$\iff 2x\left(x+4\right)-x\left(x-2\right)=8x+8$(*)

$\iff 2x^2+8x-x^2+2x=8x+8$

$\iff x^2+2x-8=0$

$\Delta \text{'}=1^2-1.\left(-8\right)=1+8=9>0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-1+3}{1}=2;x_2=\frac{-1-3}{1}=-4$

Cả hai giá trị của x đều không thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

e) Điều kiện: $x\ne 1$

Ta có: $\frac{x^3+7x^2+6x-30}{x^3-1}=\frac{x^2-x+16}{x^2+x+1}$

$\iff \frac{x^3+7x^2+6x-30}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}=\frac{x^2-x+16}{x^2+x+1}$

$\iff \frac{x^3+7x^2+6x-30}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}=\frac{\left(x^2-x+16\right)\left(x-1\right)}{x^2+x+1}$

$\iff x^3+7x^2+6x-30=\left(x^2-x+16\right)\left(x-1\right)$

$\iff x^3+7x^2+6x-30=x^3-x^2-x^2+x+16x-16$

$\iff 9x^2-11x-14=0$

$\Delta ={\left(-11\right)}^2-\mathrm{4.9.}\left(-14\right)=121+504=625>0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{11+\sqrt{625}}{2.9}=2;x_2=\frac{11-\sqrt{625}}{2.9}=\frac{-7}{9}$

Cả hai giá trị x đều thỏa mãn:Vậy tập nghiệm của phương trình ban đầu là S = $\left.\frac{-7}{9};2\right\}$

f) Điều kiện: $x\ne \pm 1$

Ta có: $\frac{x^2+9x-1}{x^4-1}=\frac{17}{x^3+x^2+x+1}$

$\iff \frac{x^2+9x-1}{\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)}=\frac{17}{\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)}$

$\iff \frac{x^2+9x-1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)}=\frac{17\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}$

$\iff x^2+9x-1=17\left(x-1\right)$

$\iff x^2+9x-1=17x-17$

$\iff x^2-8x+16=0$

Δ’ = (–4)² – 1.16 = 16 – 16 = 0

Phương trình có nghiệm kép :x₁ = x₂ = $\frac{-b}{2a}=\frac{8}{2.1}$= 4

Giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy nghiệm của phương trình là x =4