Giải các phương trình trùng phương

a) x⁴ –8x² – 9 =0

b) y⁴ – 1,16y² + 0,16 =0

c) z⁴ –7z² – 144 =0

d) 36t⁴ – 13t² +1 =0

e) $\frac{1}{3}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{6}=0$

f) $\sqrt{3}{x}^4-\left(2-\sqrt{3}\right)x^2-2=0$

a) Đặt m = x². Điều kiện m ≥ 0

Ta có: x⁴ – 8x² – 9 = 0

Phương trình trở thành

m² – 8m – 9 = 0

Phương trình m² – 8m – 9 = 0 có hệ số a = 1, b = –8, c = –9 nên có dạng a – b + c = 0

Suy ra: m₁ = –1 (loại) , m₂ = $\frac{-\left(-9\right)}{1}=9$(thỏa mãn)

Ta có: $x^2=9\Rightarrow x=\pm 3$

Vậy tập nghiệm của phương trình ban đầu là S = {–3; 3}

b) Đặt m = y². Điều kiện m ≥ 0

Ta có: y⁴ – 1,16y² + 0,16 = 0

Phương trình trở thành

m² – 1,16m + 0,16 = 0

Phương trình m² – 1,16m + 0,16 = 0 có hệ số a = 1; b = –1,16; c = 0,16 nên có dạng a + b + c = 0

Suy ra: m₁ = 1(thỏa mãn) , m₂ = $\frac{c}{a}=\frac{0,16}{1}$= 0,16(thỏa mãn)

Ta có: y² =1 ⇒ y = ± 1

y² = 0,16 ⇒ y = ± 0,4

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho S = {–1; –0,4; 0,4; 1}

c) Đặt m = z² .Điều kiện m ≥ 0

Ta có: z⁴ – 7z² – 144 = 0

Phương trình trở thành

m² – 7m – 144 = 0(*)

Ta có: Δ = (–7)² – 4.1.(–144) = 49 + 576 = 625 > 0

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

$m_1=\frac{7+\sqrt{625}}{2.1}=16$(thỏa mãn)

$m_2=\frac{7-\sqrt{625}}{2.1}=-9$(loại)

VỚi m = 16 $\Rightarrow z^2=16\Rightarrow z=\ne 4$

Vậy phương trình ban đầu có tập nghiệm là $S=\left.-4;4\right\}$

d) Đặt m = t² .Điều kiện m ≥ 0

Ta có: 36t⁴ – 13t² + 1 = 0

Phương trình trở thành

36m² – 13m + 1 = 0(*)

Ta có: Δ = (–13)² – 4.36.1 = 169 – 144 = 25 > 0

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:

$m_1=\frac{13+\sqrt{25}}{2.36}=\frac{18}{72}=\frac{1}{4}$(thỏa mãn)

$m_2=\frac{13-\sqrt{25}}{2.36}=\frac{8}{72}=\frac{1}{9}$(thỏa mãn)

+Với m = $\frac{1}{4}\Rightarrow t^2=\frac{1}{4}\Rightarrow t=\pm \frac{1}{2}$

+Với m = $\frac{1}{9}\Rightarrow t^2=\frac{1}{9}\Rightarrow t=\pm \frac{1}{3}$

Vậy tập nghiệm phương trình đã cho là $S=\left.\frac{-1}{3};\frac{-1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{3}\right\}$

e) Đặt m = x². Điều kiện m ≥ 0

Ta có: $\frac{1}{3}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{6}=0$

Phương trình trở thành

$\frac{1}{3}{m}^2-\frac{1}{2}m+\frac{1}{6}=0$

$\iff 2m^2-3m+1=0$ có hệ số a = 2; b = –3; c = 1

Ta có: a + b + c = 0

$\Rightarrow m_1=1$(thỏa mãn); $m_2=\frac{1}{2}$(thỏa mãn)

+ Với m = 1$t^2=1\Rightarrow t=\pm 1$

+ Với m = $\frac{1}{2}\Rightarrow t^2=\frac{1}{2}\Rightarrow t=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S=\left.-1;\frac{-\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2};1\right\}$

f) Đặt m = x². Điều kiện m ≥ 0

Ta có: $\sqrt{3}{x}^4-\left(2-\sqrt{3}\right)x^2-2=0$

Phương trình trở thành

$\sqrt{3}{m}^2-\left(2-\sqrt{3}\right)m-2=0$

Ta có: $a=\sqrt{3};b=-\left(2-\sqrt{3}\right);c=-2$có a – b + c = 0

$\Rightarrow m=-1$(loại); $m_2=\frac{-c}{a}=\frac{2}{\sqrt{3}}$(thỏa mãn)

Với m = $\frac{2}{\sqrt{3}}\Rightarrow x^2=\frac{2}{\sqrt{3}}\Rightarrow x=\pm \sqrt{\frac{2}{\sqrt{3}}}=\pm \frac{\sqrt{6\sqrt{3}}}{3}$

Vậy phương trình đã có tập nghiệm là S = $\left.\frac{-\sqrt{6\sqrt{3}}}{3};\frac{\sqrt{6\sqrt{3}}}{3}\right\}$