Cho phương trình Câu hỏi 2 trang 60 SBT Toán 9 Tập 2

x + 2$\sqrt{x-1}+m^2+6m-11=0$

a) Giải phương trình khi m = 2

b) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m.

a) Khi m = 2 ta có phương trình $x+2\sqrt{x-1}-3=0$điều kiện x $\ge 0$

$\iff x-1+2\sqrt{x-1}-2=0$

Ta có phương trình $t^2+2t-2=0$(*)

$\Delta \text{'}=1^2-1.\left(-2\right)=1+2=3>0$

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

$t_1=\frac{-1+\sqrt{3}}{1}=-1+\sqrt{3}$(thỏa mãn)

$t_2=\frac{-1-\sqrt{3}}{1}=-1-\sqrt{3}$(loại)

Với t = $-1+\sqrt{3}\Rightarrow \sqrt{x-1}=\sqrt{3}-1$

$\iff x-1={\left(\sqrt{3}-1\right)}^2$

$\iff x-1=3-2\sqrt{3}+1$

$\iff x=5-2\sqrt{3}$

Vậy với m = 2 thì phương trình có nghiệm x = $5-2\sqrt{3}$.

b) $x+2\sqrt{x-1}-m^2+6m-11=0$điều kiện $x\ge 1$

$\iff x-1+2\sqrt{x-1}-m^2+6m-10=0$

Đặt $\sqrt{x-1}=t\Rightarrow t\ge 0$

Ta có phương trình $t^2+2t-m^2+6m-10=0$

Ta có: c = –m² + 6m – 10 = –(m² – 6m + 9 + 1) = –[(m – 3)² + 1] < 0

Nên x < 0 mà a = 1 > 0 nên a và c trái dấu, phương trình có hai nghiệm phân biệt t₁; t₂ trái dấu với nhau.

Giả sử $t_1>0\Rightarrow x={t_1}^2+1$

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m.