Tại sao 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 tổng chia hết cho 3

Giải SBT Toán 6 Bài 8: Quan hệ chia hết và tính chất

Bài 2.9 (trang 32 Sách bài tập Toán 6 Tập 1):

a) Tại sao tổng $2^2+2^3+2^4+2^5$ chia hết cho 3?

b) Tại sao tổng $4^{20}+4^{21}+4^{22}+4^{23}$ chia hết cho 5?

Lời giải.

a) Ta có: $2^2+2^3+2^4+2^5$

$\begin{array}{l}=(2^2+2^3)+(2^4+2^5)\\ =(2^2.1+2^{2+1})+(2^4.1+2^{4+1})\\ =(2^2.1+2^2.2)+(2^4.1+2^4.2)\\ =2^2.(1+2)+2^4.(1+2)\\ =2^2.3+2^4.3\\ =3.(2^2+2^4)\end{array}$

Vì 3 $⋮$3 nên $3.(2^2+2^4)⋮$3 hay ($2^2+2^3+2^4+2^5$ ) 3

Vậy tổng $2^2+2^3+2^4+2^5$ chia hết cho 3

b) Ta có: $4^{20}+4^{21}+4^{22}+4^{23}$

$\begin{array}{l}=(4^{20}+4^{21})+(4^{22}+4^{23})\\ =(4^{20}.1+4^{20+1})+(4^{22}.1+4^{22+1})\\ =(4^{20}.1+4^{20}.4)+(4^{22}.1+4^{22}.4)\\ =4^{20}.(1+4)+4^{22}.(1+4)\\ =4^{20}.5+4^{22}.5\\ =5.(4^{20}+4^{22})\end{array}$

Vì 5 $⋮$5 nên $5.(4^{20}+4^{22})⋮$5 hay ( $4^{20}+4^{21}+4^{22}+4^{23}$) 5

Vậy tổng $4^{20}+4^{21}+4^{22}+4^{23}$ chia hết cho 5.