Lý thuyết Phép nhân đa thức – Toán lớp 8 Kết nối tri thức

Lý thuyết Toán 8 Bài 4: Phép nhân đa thức - Kết nối tri thức

Bài giảng Toán 8 Bài 4: Phép nhân đa thức - Kết nối tri thức

A. Lý thuyết Phép nhân đa thức

1. Nhân đơn thức với đa thức

+ Nhân hai đơn thức như thế nào?

Muốn nhân hai đơn thức, ta nhân hai hệ số với nhau và nhân hai phần biến với nhau.

Ví dụ: $(-3x^{2}y)(4xy)=\left[\left(-3.4\right)\right].(x^2.x).\left(y.y\right)=-12.x^3.y^2$

+ Nhân đơn thức với đa thức như thế nào?

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

Ví dụ:

$\begin{array}{l}3x^{2}y\left(2x^{2}y-xy+3y^2\right)\\ =(3x^{2}y).(2x^{2}y)-(3x^{2}y).(xy)+(3x^{2}y).(3y^2)\\ =\mathrm{3.2.}(x^2.x^2)\left(y.y\right)-3.(x^2.x).\left(y.y\right)+\mathrm{3.3.}{x}^2.\left(y.y^2\right)\\ =6x^4{y}^2-3x^3.y^2+9x^2{y}^3\end{array}$

2. Nhân đa thức với đa thức

+ Nhân hai đa thức như thế nào?

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

Phép nhân đa thức cũng có các tính chất tương tự phép nhân các số.

+ Giao hoán: A.B = B.A

+ Kết hợp: (A.B).C = A.(B.C)

+ Phân phối của phép nhân đối với phép cộng: (A + B).C = AB + AC

Ví dụ:

$\begin{array}{l}(xy+1)(xy-3)\\ =(xy).\left(xy\right)+xy-3xy-3\\ =x^2{y}^2-2xy-3\end{array}$

B. Bài tập Phép nhân đa thức

Bài 1. Làm tính nhân:

a) (x² – xy + y²)(xy + 2);

b) (x – 2y)(x² + 2xy + 4y²).

Hướng dẫn giải

a) (x² – xy + y²)(xy + 2) = (x² – xy + y²).xy + (x² – xy + y²).2

= x³y – x²y² + xy³ + 2x² – 2xy + 2y².

b) (x – 2y)(x² + 2xy + 4y²) = x. (x² + 2xy + 4y²) + (– 2y) (x² + 2xy + 4y²)

= x³ + 2x²y + 4xy² – 2x²y – 4xy² – 8y³

= x³ + (2x²y – 2x²y) + (4xy² – 4xy²) – 8y³

= x³ – 8y³.

Bài 2. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

(2x + 2022).(1 – x²) + x(2x² – 2 + 2022x).

Hướng dẫn giải

Ta có: (2x + 2022).(1 – x²) + x(2x² – 2 + 2022x)

= 2x.(1 – x²) + 2022.(1 – x²) + 2x³ – 2x + 2022x²

= 2x – 2x³ + 2022 – 2022x² + 2x³ – 2x + 2022x²

= (2x – 2x) + (– 2x³ + 2x³) + (– 2022x² + 2022x²) + 2022

= 0 + 0 + 0 + 2022

= 2022 với mọi giá trị của x.

Vậy giá trị của biểu thức (2x + 2022).(1 – x²) + x(2x² – 2 + 2022x) không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Bài 3. Nhân hai đơn thức:

a) 2xy² và – 3x²y;

b) $-\frac{2}{5}$x⁴y³ và 10xy;

c) 0,5xyz và 4x³y²z.

Hướng dẫn giải

a) (2xy²).(– 3x²y) = 2.( – 3).(xy²).(x²y) = – 6x³y³

b) ( $-\frac{2}{5}$x⁴y³).(10xy) = $-\frac{2}{5}$ .10.( x⁴y³).(xy) = – 4x⁵y⁴

c) (0,5xyz).(4x³y²z) = 0,5.4.(xyz).( x³y²z) = 2x⁴y³z².

Bài 4. Tìm tích của đơn thức với đa thức:

a) – x³(5xy – y³ + 2xy²);

b) (x²y² $-\frac{1}{2}$ x²y + $\frac{5}{6}$ xy²).12xy.

Hướng dẫn giải

a) – x³(5xy – y³ + 2xy²) = (– x³).5xy + (– x³).( – y³) + (– x³).(2xy²)

= – 5x⁴y + x³y³ – 2x⁴y².

b) (x²y² $-\frac{1}{2}$ x²y + $\frac{5}{6}$ xy²).12xy = x²y².12xy + ( $-\frac{1}{2}$x²y).12xy + $\frac{5}{6}$ xy².12xy

= 12x³y³ – 6x³y² + 10x²y³.