Giải SBT Toán 10 trang 106 Tập 1 Cánh diều

Giải SBT Toán 10 trang 106 Tập 1 Cánh diều

Bài 62 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1

Lời giải:

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right).\overrightarrow{AD}={\overrightarrow{AD}}^2+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}={\overrightarrow{AD}}^2+AB.AD.c\text{os}\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)$

= a² + a.a.cos120°

= a² – $\frac{1}{2}$a² = $\frac{1}{2}$a².

Vậy $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}{a}^2.$

Bài 63 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1

Lời giải:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0$

$=\overrightarrow{AB}.\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}\right)+$$\overrightarrow{AC}.\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right)+\overrightarrow{AD}.\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$$-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}$

$=\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}\right)+$$\left(-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}\right)$$+\left(-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AC}\right)$

= 0

Bài 64* trang 106 SBT Toán 10 Tập 1

Lời giải:

Gọi a là độ dài cạnh của hình vuông ABCD

Vì M là trung điểm của BC nên ta có:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$

⇔ $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}$

Ta lại có:

$\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}=-\overrightarrow{AB}+x\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}+x\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)=(1-x)\overrightarrow{BA}+x\overrightarrow{BC}$

⇒ $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BN}=\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}\right)$$\left.(1-x)\overrightarrow{BA}+x\overrightarrow{BC}\right]$

⇔ $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BN}=\frac{1}{2}(1-x)\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BA}+$$\frac{1}{2}x{\overrightarrow{BC}}^2-\left(1-x\right){\overrightarrow{BA}}^2-x\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$

⇔ $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BN}=\frac{1}{2}x.a^2-\left(1-x\right)a^2$

⇔ $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BN}=\left(\frac{3}{2}x-1\right)a^2$

Để AM vuông góc với BN thì $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BN}=0$

⇔ $\left(\frac{3}{2}x-1\right)a^2=0$

⇔ $\frac{3}{2}x-1=0$

⇔ $x=\frac{2}{3}$

Vậy với $x=\frac{2}{3}$thì AM ⊥ BN.

Bài 65 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1

Lời giải:

Ta có: MA² + MB² + MC² = ${\overrightarrow{MA}}^2+{\overrightarrow{MB}}^2+{\overrightarrow{MC}}^2$

= ${\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)}^2$

= ${\overrightarrow{MG}}^2+2.\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GA}+{\overrightarrow{GA}}^2+{\overrightarrow{MG}}^2$$+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GB}+{\overrightarrow{GB}}^2+{\overrightarrow{MG}}^2$$+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GC}+{\overrightarrow{GC}}^2$

= $3{\overrightarrow{MG}}^2+\left({\overrightarrow{GA}}^2+{\overrightarrow{GB}}^2+{\overrightarrow{GC}}^2\right)+$$\left(2.\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GB}+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GC}\right)$

= $3M{G}^2+\left(G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2\right)$$+2.\overrightarrow{MG}\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)$

= $3M{G}^2+\left(G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2\right)$.

Bài 66 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1

Lời giải:

Gọi $\overrightarrow{v_0}$ là vận tốc của máy bay, $\overrightarrow{v_1}$là vận tốc của gió.

Khi đó ta có: $\left.\overrightarrow{v_0}\right|=650$, $\left.\overrightarrow{v_1}\right|=35$, $\left(\overrightarrow{v_0};\overrightarrow{v_1}\right)=45°$

Tốc độ mới của máy bay là $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_0}+\overrightarrow{v_1}$

⇔ v = 675,2 km/h.